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<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>阶段示范性金考卷五
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2014·新昌中学月考]直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )
A．－3或－1 B．3或1
C．－3或1 D．－1或3
解析：由两条直线垂直得k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，解得k＝－3或k＝1，故选C.
答案：C
2．下列曲线中，其右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)．选项A中椭圆的右焦点坐标为(，0)，选项B中椭圆的右焦点坐标为(2,0)，选项C中双曲线的右焦点坐标为(，0)，选项D中双曲线的右焦点坐标为(1,0)，故选D.
答案：D
3．过点M(2,0)作圆x2＋y2＝1的两条切线MA，MB(A，B为切点)，则·＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，∠OMA＝∠OMB＝30°且|MA|＝|MB|＝，所以·＝××＝.
答案：D
4．[2014·烟台诊断性测试]若点P是以A(－，0)、B(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝10的一个交点，则|PA|＋|PB|的值为( )
A．2 B．4
C．4 D．6
解析：根据对称性，设点P在第一象限，则|PA|－|PB|＝2，点P在圆x2＋y2＝10上，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝40，把|PA|－|PB|＝2平方后代入上述结果得|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝40＋32＝72，所以|PA|＋|PB|＝6.
答案：D
5．已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为( )
A．(5,7) B．(－15,1)
C．(5,10) D．(－∞，1)
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，故10－a>0，即a<10.圆心(1,2)到直线3x－4y－15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1时，圆的半径r满足3</p><r<5，即3<<5，即－15<a<1. b="" a="">0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1，) D．(1，]
解析：因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2，选b. b="" d="" p="">0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于( )
A．5 B．6
C．3 D．7
解析：把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，由消去y得x2－5x＋4＝0，则xA＋xB＝5.由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.
答案：D
9．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( )
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
解析：圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到点(4,0)的距离减去到点(0,0)的距离等于1(小于4)，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．
答案：B
10．[2014·绵阳诊断]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：依题意，由四边形ABFC是菱形得知，题中的抛物线与椭圆的交点B，C应位于线段AF的垂直平分线x＝上．
由得＋x＝1，于是有＋×＝1，即＝，＝，1－e＝，即e＝，该椭圆的离心率是，选D.
答案：D
11．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是( )
A．5 B．3
C．4 D.
解析：设|PF2|＝x，|PF1|＝y(x<y)，则y－x＝2a，又x，y,2c为等差数列，所以x＋2c＝2y，整理得，代入x2＋y2＝4c2整理得，5a2－6ac＋c2＝0，解得c＝5a，所以双曲线的离心率e＝＝5. 4="" 8="" 16="" a="" 8.="" c="">0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，a＝________.
解析：依题意，圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝，于是有4－()2＝()2，a＝－1或－－1(舍去)．
答案：－1
14．[2014·苏锡常镇一调]若双曲线x2－＝1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为________．
解析：双曲线x2－＝1(a>0)的一个焦点(，0)到一条渐近线x－y＝0的距离为＝，解得a＝3，故此双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
15．已知a，b，c成等差数列且公差不为零，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为________．
解析：由题意，圆心到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2≥2＝2，当a＝0时等号成立．
答案：2
16．已知抛物线x2＝－4y的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
解析：抛物线x2＝－4y的准线为y＝1，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，令y＝1，得x＝±，因为y＝1与y＝±x围成一个等腰直角三角形，所以＝1，所以a＝b，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)[2014·石家庄质检]已知动点P到定点A(0,1)的距离比它到定直线y＝－2的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点Q为直线y＝－1上的动点，过点Q作曲线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：M，Q，N三点的横坐标成等差数列．
解：(1)由动点P到定点A(0,1)的距离比它到定直线y＝－2的距离小1，可知动点P到定点A(0,1)的距离等于它到定直线y＝－1的距离，由抛物线的定义可知动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知y′＝.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，－1)，则切线MQ：y－y1＝(x－x1)，切线NQ：y－y2＝(x－x2)．
因为MQ，NQ交于点Q(x0，－1)，
所以－1－y1＝(x0－x1)，－1－y2＝(x0－x2)，可得直线MN：－1－y＝(x0－x)，
又y＝，所以x2－2x0x－4＝0.易知x1，x2为方程x2－2x0x－4＝0的两个解，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝2x0，
所以M，Q，N三点的横坐标成等差数列．
18．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点为A(0，－3)，B(－1,0)，C(3,0)，直线l：(m＋2)x＋(1－m)y－2m－4＝0(m∈R)．
(1)求△ABC的外接圆M的方程；
(2)证明直线l与圆M相交，并求M被l截得的弦长最短时m的值．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程得，解得.
所以圆M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
(2)由(1)知圆M的圆心为M(1，－1)，半径r＝.
直线l的方程可化为(x－y－2)m＋2x＋y－4＝0，它必经过直线x－y－2＝0与2x＋y－4＝0的交点．由得，故直线l恒过点N(2,0)．
连接NM，又|NM|＝<，所以点n(2,0)在圆m内，故直线l与圆m恒相交． .="" a="">b>0)过点M(0，－1)，四个顶点所围成的图形面积为2.直线l：y＝kx＋t与椭圆C相交于A，B两点，且∠AMB＝90°.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试判断直线l是否恒过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
解：(1)由题意得，解得.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立椭圆与直线方程，得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
∴8(2k2－t2＋1)>0且x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴y1·y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝.
∵＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，且∠AMB＝90°，
∴·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)
＝x1x2＋y1y2＋y1＋y2＋1
＝＋＋＋1
＝
＝＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx＋.
∴直线l恒过定点(0，)．
20．(本小题满分12分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)是否存在直线l，使得以线段MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵当直线l与x轴垂直时，|MN|＝2p，∴S△OMN＝×2p×＝＝2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设正方形的第三个顶点为P，
∵直线l与x轴垂直或y＝0时，不满足条件．
故可设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)．
联立，可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则.
∴线段MN的中点为(，)，，
则线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－1－)，故P(0，＋)．
又·＝0，∴x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)＝0，即x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0.
1－4－y0·＋y＝0，化简得，ky－4y0－3k＝0，由y0＝＋代入上式化简得，(3k4－4)(k2＋1)＝0，解得k＝±.
∴存在直线l：y＝±(x－1)满足题意．
21．(本小题满分12分)已知椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，a>b>0.
由c＝，可得a＝2，b2＝a2－c2＝2，
故所求方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2得，可得x1＝－2x2.①
由题意知直线斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
则x1＋x2＝－，②
x1x2＝.③
由①②得，x2＝，将x1＝－2x2代入③得x＝，
所以()2＝，解得k2＝.
又△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝·＝＝.
故△AOB的面积是.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，△F1AB的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△F1AB内切圆半径R的最大值．
解：(1)∵△F1AB的周长为8，
∴4a＝8，∴a＝2，
又椭圆C的离心率e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题设知，直线l不能与x轴重合，故可设直线l的方程为x＝my＋(m∈R)．
由，得(m2＋4)y2＋2my－1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|y1－y2|＝
＝＝.
∴△F1AB的面积S＝|F1F2|·|y1－y2|＝.
又△F1AB的面积S＝×8×R，
从而有R＝(m∈R)．
令t＝，则R＝≤＝.
当且仅当t＝，t＝，即m＝±时，等号成立．
∴当m＝±时，R取得最大值.
<!--，所以点n(2,0)在圆m内，故直线l与圆m恒相交．--></y)，则y－x＝2a，又x，y,2c为等差数列，所以x＋2c＝2y，整理得，代入x2＋y2＝4c2整理得，5a2－6ac＋c2＝0，解得c＝5a，所以双曲线的离心率e＝＝5.></e≤2，选b.><!--10.圆心(1,2)到直线3x－4y－15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1时，圆的半径r满足3<r<5，即3<<5，即－15<a<1.--></r<5，即3<<5，即－15<a<1.>
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