第2讲函数的定义域和值域.doc

第2讲　函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．
[做一做]
1．(2015·浙江杭州模拟)函数y＝的值域是
解析：.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.
2．函数y＝＋的定义域为________．
答案：[－1，2)∪(2，＋∞)

1．求函数定义域应注意的四点
(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．
(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．求函数值域的六种基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．

(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．
(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．
(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．
[做一做]
3．函数y＝的定义域是
答案：(2，3)∪(3，＋∞)
4．若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．
解析：∵有意义，∴x－4≥0，即x≥4.
又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.
∴其值域为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)

__求函数的定义域(高频考点)____________

函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求分式型函数的定义域；
(2)求无理型函数的定义域；
(3)求对数型函数的定义域；
(4)求抽象函数的定义域．
　(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为
(2)函数f(x)＝的定义域为____________．
(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为
[解析]　(1)要使函数有意义，必须满足3x－1>0，解得x>0，.
(2)由⇒⇒0≤x<1或1<x≤2.
(3)要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x<2. 　本例(2)变为函数f(x)＝(a>0且a≠1)，结果如何？
解：由⇒⇒0<x≤2，
故所求函数的定义域为(0，2]．
[规律方法]　简单函数定义域的类型及求法：
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
　1.(1)(2013·高考山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为

(2)函数y＝＋(x－1)0的定义域是__________．
(3)(2015·广东佛山模拟)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为__________．
解析：(1)由题意知解得－3<x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3，0]，
(2)由，得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为
{x|－3<x<2且x≠1}．
(3)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，∴－1≤x2－1≤8，
∴函数y＝f(x)的定义域是[－1，8]．
__求函数的值域________________________

　求下列函数的值域．
(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；
(2)y＝；
(3)y＝x＋(x＜0)；
(4)f(x)＝x－.
[解]　(1)(配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
(2)y＝＝－1，∵1＋x2≥1，∴0＜≤2.
∴－1＜－1≤1.即y∈(－1，1]．
∴函数的值域为(－1，1]．
(3)∵x＜0，∴x＋＝－≤－4，
当且仅当x＝－2时等号成立，∴y∈(－∞，－4]．
∴函数的值域为(－∞，－4]．
(4)法一：(换元法)令＝t，
则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
法二：(单调性法)
f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，
所以f(x)≤f＝，即函数的值域是.
[规律方法]　求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
　2.求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log3x＋logx3－1(x＞1)．
解：(1)法一：y＝＝＝1－.
因为≠0，所以1－≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
法二：由y＝，得yx＋y＝x－3.
解得x＝，所以y≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
(2)y＝＝1－，
∵x2－x＋1＝＋≥，∴0＜≤，
∴－≤y＜1，即函数的值域为.
(3)y＝log3x＋－1，
令log3x＝t，则y＝t＋－1(t≠0)，
x＞1，t＞0，y≥2－1＝1，
当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立，
故函数的值域是[1，＋∞)．

__与函数定义域、值域有关的参数问题__

　若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是
[解析]　要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m≠0时，要使不等式恒成立，须即或即解得0<m<.由①②得0≤m<.
[规律方法]　求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．
　3.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．

解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2，得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．
答案：5