第71圆的切线与弦长问题.doc

71课时 圆的切线与弦长问题
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习直线与圆的位置关系中的切线和弦长问题
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：圆的切线和弦长问题
2.难点：圆的切线和弦长问题
三．【小测试】：
四．【问题导学】：
1．解决有关弦长问题的两种方法是什么？

2．过圆上一点求圆的切线的方法是什么？过圆外一点求圆的切线的方法是什么？

五．【例题探究】：
题型一：圆的切线与弦长问题
例1.(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
(3)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______．
例2.已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．

六．【作业】：
1.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
2.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
3.直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．
4.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

5.已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

71课时 圆的切线与弦长问题
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习直线与圆的位置关系中的切线和弦长问题
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：圆的切线和弦长问题
2.难点：圆的切线和弦长问题
三．【小测试】：
四．【问题导学】：
1．解决有关弦长问题的两种方法是什么？
(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2；
(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.
2．过圆上一点求圆的切线的方法是什么？过圆外一点求圆的切线的方法是什么？
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
[易错防范]
1．过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏．特别当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况．
2．讨论两个圆的位置关系时，特别是在讨论两个圆相交的公共弦问题时，要注意必须是在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程．

五．【例题探究】：
题型一：圆的切线与弦长问题
例1.(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(1)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
解析　 (2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
(3)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______．
解析　由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝，则a2＝1.
同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.
答案　2
例2.已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
解　(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，
kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有|AC|＝2，|BD|＝2，
所以|AC|＋|BD|＝2＋2.
则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2)．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4×＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值为2.
六．【作业】：
1.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析　易知圆心坐标为(2，－1)，半径r＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以弦长l＝2＝.
答案　
2.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析　由得x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，
所以，所求弦长为2.
答案　2
3.直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．
解析　圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝.
答案　
4.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一　(1)证明　由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何知识，
知|AB|＝2＝2 ，下同法一．
法三　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
5.已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解　(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意得＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴＋＝4，解得a＝－.