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选择题
1、()
2、=
3、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（）．
4、A,B都是n阶矩阵，则下列命题正确的是
A,B为两个事件，则（）成立．
A与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（秩秩）．
5、乘积矩阵中元素（10）．
6、袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是
袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是
7、对给定的正态总体的一个样本未知，求的置信区间，选用的样本函数服从
对来自正态总体X～(未知)的一组样本，则下列各式中不是统计量。
对任意两个事件A,B，等式成立。
对于事件，命题（如果对立，则对立）是正确的。
对正态总体的假设检验问题中，t检验法解决的问题是 未知方差，检验均值 。
对正态总体的假设检验问题中，U检验法解决的问题是 已知方差，检验均值 。
对正态总体方差的检验用
8、方程组相容的充分必要条件是，其中。
方阵可逆的充分必要条件是（）．
9、矩阵A适合条件时，它的秩为r。
矩阵的伴随矩阵为（）．
10、某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（）．
11、如果（且 ）成立，则事件与互为对立事件．
12、若，则（）．
若，则x= 3 。
若A是对称矩阵，则条件 成立。
若Xl、X2是线性方程组AX=B的解,而η1、η2是方程组AX=O的解，则( )是AX=B的解。
若成立，则n元线性方程组AX=0有唯一解。
若等式P（B）=P（B︱A） 成立，则事件A，B相互独立。
若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（可能无解）．
若事件A,B满足P(A)+P(B)＞1，则A与B一定 不互斥 。
若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B) ，则A与B相互独立。
若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是
若随机变量X～N(0,1)，则随机变量Y=3X-2～
若随机变量X的期望和方差分别为E(X)和D(X)，则等式成立。
若随机变量X与Y相互独立，则方差D(2X-3Y)= 4D(X)+9D(Y)
若条件成立，则随机事件A,B互为对立事件。
若线性方程组AX=0只有零解，则线性方程组AX=b解的情况不能断定
若线性方程组的增广矩阵，则当=时线性方程组有无穷多解。
若向量组线性相关，则向量组内(至少有一个向量)可被该向量组内其余向量线性表出．
13、设，那么A的特征值是
设，则（—6）．
设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（）成立，则称Ａ和Ｂ相似．
设A,B都是n阶方阵，则下列命题正确的是
设A,B都是n阶矩阵(n＞1)，则下列命题正确的是
设A,B为n阶矩阵(n＞1)，则下列等式成立的是
设A,B为n阶矩阵，则下列等式成立的是
设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
设A,B是两事件，则下列等式中是不正确的。
设A,B是了两个相互独立的事件，已知，则P(A+B)=
设A，B为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（x是A+B的特征向量）成立。
设A,B为三阶可逆矩阵，且k＞0，则下式 成立。
设AX=0是n元线性方程组,其中A是n阶矩阵，若条件成立，则该方程组没有非零解。
设A是m×n矩阵，B是s×￡矩阵，且AC'B有意义，则C是(s×n )矩阵。
设A是n阶方阵，当条件成立时，n元线性方程组AX=b有唯一解。
设A为3×4矩阵，B为5×2矩阵，当C为 2×4 矩阵时，乘积有意义。
设f(x)和F(x)分别是随机变量X的分布密度函数和分布函数，则对任意a＜b，有P(a＜X≤b)=
设X～，则随机变量～。
设矩阵，则A的对应于特征值=2的一个特征向量。
设矩阵的特征值为0.2，则3A的特征值为
设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（）．
设均为阶可逆矩阵，则（）．
设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．
设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ）．
设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（）．
设是来自正态总体（均未知）的样本，则（）是统计量．
设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（）不是的无偏估计。
设是来自正态总体N(5,1)的样本，则检验假设采用统计量U=
设是来自正态总体的样本，其中，是未知参数，则是统计量。
设是来自正态总体的样本，其中已知，未知，那么下列不是统计量。
设是来自正态总体的样本，未知，那么下列不是统计量。
设是来自正态总体的样本，则 是的无偏估计。
设是来自正态总体的样本，则 是统计量。
设是来自正态总体的样本，则是统计量。
设随机变量，且，则参数与分别是（6, 0.8）．
设随机变量，则E(X)= 0.5
设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（ ）．
设为随机变量，，当（ ）时，有．
设线性方程组AX=B的两个解为，则下列向量中一定是AX=B的解。
设向量组为，则（　）是极大无关组．
14、下列函数中，能作为随机变量密度函数的是
下列结论正确的是（若是正交矩阵，则也是正交矩阵）．
下列命题正确的是
下列命题中不正确的是：
下列事件运算关系正确的是
15、线性方程组（ 有唯一解）．
线性方程组解的情况是无解
线性方程组解的情况是有无穷多解
16、向量组的极大线性无关组是
向量组的秩是 3
向量组的秩是 3
向量组的秩为（　3）．
17、行列式的元素的代数余子式的值为 -56 。
18、已知2维向量组，则r()至多是 2 。
已知总体X～ ，未知，检验总体期望采用 t检验法 。
19、以下结论正确的是（齐次线性方程组一定有解）．
20、用消元法得的解为（　）．
21、在下列函数中可以作为分布密度函数的是（）．
22、掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是
掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是
填空题
1、 7 ．
2、是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．
3、为两个事件，且，则．
4、称为二维随机变量的 协方差 ．
5、不含未知参数的样本函数称为 统计量 。
6、比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
7、从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为
8、参数估计的两种方法是点估计和 区间估计.常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．
参数θ的估计量θ满足E(θ)= θ，则称θ为θ的无偏估计量。
9、当 １ 时，齐次线性方程组有非零解．
10、二阶矩阵．
11、行列式= = 5
12、矩阵的秩为 2 。
13、假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率
14、矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为，设铜含量服从，未知，在α=0.01下，检验，则取统计量。
15、连续型随机变量X的密度函数是f(x)，则P(a＜X＜b)=
16、如果随机变量X的期望E(X)=2，且E()=9，那么D(2X)= 20
17、若向量组：，能构成一个基，则数K ≠2
若随机变量X～U〔0,2〕，则D(X)=
若都是θ的无偏估计，且满足，则称比更有效。
若向量β可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是线性无关。
若事件A,B满足AB，则P(A-B)= P(A)-P(B)
若样本来自总体X～N(0,1),且，则～
若P(A)=0.8，=0.5，则P(AB)= 0.3
若P(A)=0.4，=0.3，则P(A+B)= 0.7
若P(A+B)=0.9，P(A)=0.8，P(B)=0.4，则P(AB)= 0.3
若P(A+B)=0.9，=0.2，=0.4，则P(AB)= 0.3
若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．
若A为4×3矩阵，B为2×4矩阵，C为4×2矩阵，则为 3×4 矩阵
若为正交矩阵，则 0 ．
若是Ａ的特征值，则是方程的根．
若矩阵Ａ满足　，则称Ａ为正交矩阵．
若事件相互独立，且，则．
若，则 6 ．
若，则．
18、 2

设是两个可逆矩阵，则．
设，则
设A,B均为3阶矩阵，且 8
设A,B均为3阶矩阵，且，则 -8
设A,B均为3阶方阵， -18
设A,B是3阶方阵，其中，则 12
设A,B均为3阶矩阵，且，则 72 ．
设均为3阶矩阵，且，则 －3 ．
设A是2阶矩阵，且 1
设A,B均为4阶矩阵，且，=（）
设二阶矩阵A=,其伴随矩阵A*=
设A,B均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则
，
（无偏）估计
设是未知参数的一个无偏估计量，则有
设4元线性方程组AX=B有解且r(A)=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3个 解向量。
设线性方程组AX=0中有5个未知量，且秩(A)=3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．
设线性方程组AX=b有解，是它的一个特解，且AX=0的基础解系为,则AX=b的通解为。
设齐次线性方程组=0的系数行列式=0，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量是线性相关的。
设随机变量X的概率分布为，则a=（0.3）
设离散型随机变量，则a= 0.3
设随机变量，则E(X)= （0.9）
设X为随机变量，已知D(X)=2，那么D(2X-7)= （8）
设随机变量X，若D(X)=3，则D(-X+3)= 3
设X为随机变量，已知D(x)=2，那么D(3X-5)= 18
设X为随机变量，已知D(X)=3，此时D(3X-2)= 27
设，则f(x)=0的根是
设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的 特征值 。
设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得Ax=x,则称x为A相应于特征值的特征向量。
2

设是来自正态总体的一个样本，则

设随机变量的概率密度函数为，则常数k=
设随机变量X的概率密度函数为，则P(X＜)=
设，则r(A)= 2
设，则=0的根是
设A,B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则A与B（相互独立）
设A,B,C是三个事件，那么A发生，但B,C至少有一个不发生的事件表示为
设随机变量X～B(100,0.15),则E(X)= 15
设随机变量，则E(X)=
设A,B互不相容，且P(A)＞0，则 0
设随机变量，则的分布函数
设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量。
19、统计量就是 不含未知参数的样本函数 。
20、线性方程组一般解的自由未知量的个数为 2个 。
线性方程组AX=b有解的充分必要条件是
21、向量组线性相关，则k= -1 。
向量组线性 相关 ．
向量组的秩是 ３ ．
向量组的极大线性无关组是
向量组的秩与矩阵的秩 相同 ．
22、已知矩阵A,B,C= 满足AC=CB,则A与B分别是 s×s,n×n 矩阵。
已知P(A)=0.8，P(AB)=0.2，则P(A-B)= 0.6
已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当事件A,B互不相容时，P(A+B)= 0.8 ，=0.3 ．
已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，则当事件A,B相互独立时，P(A+B)= 0.65 ，=0.3 ．
已知P(AB)= ，P(A)=p，则P(B)= 1-P
已知随机变量X～，那么E(X)= 2.4
23、一个向量组中如有零向量，则此向来组一定线性（相关）
24、样本是由若干个（样品）组成的集合。

计算题
1、测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：108.5，109.0，110.0，110.5，112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间．
解：
(1)当时，由1－α＝0.95， 查表得：故所求置信区间为：
(2)当未知时，用替代，查t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为：
2、从正态总体中抽取容量为625的样本，计算样本均值得，求的置信度为99%的置信区间，
解：已知，
因为 ，
所以置信度为99%的置信区间为：
从正态总体中抽取容量为64的样本，计算样本均值得，求的置信度为95%的置信区间。
解：已知，且，因为，且，
所以，置信度为95%的的置信区间为。
3、袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：⑴ 2球恰好同色；⑵ 2球中至少有1红球
解:设=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1红球”
4、当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解。
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯型

当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解。
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯型

5、罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求：(1)取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；(2)取到3颗棋子颜色相同的概率。
解：设A1=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是黑子”，B=“取到3颗棋子颜色相同”，
则
=
6、计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关
解：该向量组线性相关
7、加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．
解：设“第i道工序出正品”（i=1,2）
8、某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机抽取9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值得置信度为0.95的置信区间
解：

某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根，测得它们直径的平均值为99.9mm,样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格(检验显著性水平)
解：

某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．
解：由已知条件可求得： ， ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H0 即用新材料做的零件平均长度没有变化。
某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。从一批产品中随机抽取4段进行测量，测得的结果如下(单位：cm) 10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常？
解：

某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．
解： ……………………
故X的概率分布是
某射手射击一次命中靶心的概率是0.8，该射手连续射击5次，求：(1)命中靶心的概率；(2)至少4次命中靶心的概率。
解：射手连续射击5次，命中靶心的次数X～B(5,0.8)
(1)设A:“命中靶心”，则
(2)设B:“至少4次命中靶心”，则P(B)=P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=
某一批零件长度X～，随机抽取4个测得长度(单位:cm)14.7,15.1,14.8,15.0，可否认为这批零件的平均长度为15cm？
解：

故接受零假设，即可以认为这批零件的平均长度为15cm。
9、判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中
解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里　
方程组无解 不能由向量线性表出
10、求齐次线性方程组的一个基础解系．
解：

方程组的一般解为　　令，得基础解系　
求其次线性方程组的通解。
解：一般解为， 其中是自由元，令，得；令，得
所以原方程组的一个基础解系为。原方程组的通解为，其中是任意常数。
求下列线性方程组的全部解．
解：
　　方程组一般解为
令，，这里，为任意常数，得方程组通解
求下列线性方程组的通解
解：利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即

求线性方程组的全部解。

求线性方程组的全部解。
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯型
方程组的一般解为
方程组相应的齐次方程的一般解为

11、设，计算⑴；⑵．
解：

设，求(1)E(X)；(2)P(X≤2).

设，求．
解：；；

设,求和。(其中)

设，试求。(已知)

设A,B是两个随机事件，已知，
解：

设A,B是两个随机事件，已知
解：(1)

设X～N(3,4)，试求
解：

设对总体得到一个容量为10的样本值4.5，2.0，1.0，1.5，3.5，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0试分别计算样本均值和样本方差．
解： ；
设矩阵, ,求(1) ；(2)(I-A)B。
解：

设矩阵，解矩阵方程。
解：因为
所以，
设矩阵，求：(1)AB；(2)
解：

设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立．
解：，由 ，查表得：
因为 > 1.96 ，所以拒绝
设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解。
解：因为，得一般解：(其中，是自由元)
令得，令得。
所以，是方程组的一个基础解系。方程组的通解为，其中是任意常数。
设其次线性方程组，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解。
解：因为，当λ-5=0即λ=5时，r(A)＜3,所以方程组有非零解。方程组的一般解为，其中为自由元。令=1得，则方程组的基础解系为。通解为，其中为任意常数。
设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．
解：

设随机变量X～N(3,4).求:(1)P(1＜X＜7);(2)使P(X＜a)=0.9成立的常数a.
解：

设随机变量X～N(4,1).
解：

设随机变量X～N(8,4),求

设随机变量X的密度函数，求(1)k；(2)E(X),D(X).

设随机变量X具有概率密度求E(X),D(X).
解：由期望的定义得

由方差的计算公式有
设随机变量的概率分布为试求．
解：

设随机变量具有概率密度，试求．
解：；
设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：⑴ 中至少有一个发生；⑵ 中只有一个发生；⑶ 中至多有一个发生；⑷ 中至少有两个发生；⑸ 中不多于两个发生；⑹ 中只有发生．
解:(1)(2)(3)(4)(5) (6)
设向量组 求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组。
解：因为
所以，=3，它的一个极大线性无关组是（或）。
设有线性方程组，为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
解：
当且时，，方程组有唯一解 当时，，方程组有无穷多解
设总体的概率密度函数为，试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．
解：矩估计：
最大似然估计：
，
12、市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．
解：设

13、线性方程组，讨论p,q为何值时，此方程组有解、无解，有解时求其通解。
解：

14、已知AX=B，其中,求X。
解：利用初等行变换得
即
由矩阵乘法和转置运算得
已知
解：
已知矩阵方程X=AX+B,其中A=，求X。

已知某种零件重量X～N(15,0.09)，采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位：kg)的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为？
解：

15、用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换。

用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换。

用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换。解：
= 令 即得 解出，即得或写成。
用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换。
解：做线性替换得用配方法，得，令，即得，
解出，即得或写成。

证明题
1.设A是n阶矩阵，若

2.

3. 设n阶矩阵A满足(A-I)(A+I)=0，则A为可逆矩阵。

4.

5.

6.设A,B是两个随机事件，试证：P（B）=

7.设A,B为随机事件，试证：P(A)=P(A-B)+P(AB)
证明：由事件的关系可知
证毕
8.设随机事件A,B相互独立，试证：也相互独立

9. 设A,B为随机事件，试证：P(A-B)=P(A)-P(AB).

10.

11.

12.

13.

14.

15.对任意方阵，试证是对称矩阵．
证明： 是对称矩阵
16.若是阶方阵，且，试证或．
证明： 是阶方阵，且 或
17.若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．
证明： 是正交矩阵 即是正交矩阵
18.试证：任一４维向量都可由向量组，，，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
证明：　　　任一４维向量可唯一表示为

19.试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．
证明：设为含个未知量的线性方程组，该方程组有解，即，从而有唯一解，当且仅当，而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解
20.设是可逆矩阵Ａ的特征值，且，试证：是矩阵的特征值．
证明：是可逆矩阵Ａ的特征值　存在向量，使
即是矩阵的特征值
21.用配方法将二次型化为标准型．
解： 　令，，，
即 则将二次型化为标准型