压轴题每日一练3.doc

压轴题专练（三）
1.在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B．C重合），过F点的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：AE•AO=BF•BO；
（2）若点E的坐标为（2.4），求经过O．E．F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案 ：
1、解：证明：（1）∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，∴AE•AO=BF•BO；
（2）∵点E的坐标为（2，4），∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=，∴F（6，），
分别代入二次函数解析式得：，解得：，∴y=﹣x2+x；
（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E．C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质．相似三角形．勾股定理有以下几个关系可以考虑：
设BC'=a，BF=b，则C'F=CF=4﹣b．
∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4）．
EC'=EC=6﹣1.5b，
∴在Rt△C'BF中，a2+b2=（4﹣b）2①
∵Rt△EGC'与∽Rt△C'BF，
∴（6﹣1.5b）：（4﹣b）=4：a=（6﹣1.5b﹣a）：b ②，
解得：a=，b=，
∴F点的坐标为（6，）．
∴FO=．
2、解：（1）如下图，过点B作BC⊥y轴于点C．
∵A（0，2），△AOB为等边三角形
∴AB＝OB＝2，∠BAO＝60°，∴BC＝，OC＝AC＝1，
∴B（）．
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性．
∵∠PAQ＝∠OAB＝60°∴∠PAO＝∠QAB
在△APO和△AQB中，∵AP＝AQ，∠PAO＝∠QAB，AO＝AB ∴△APO≌△AQB总成立，
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°．
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①如下图，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，当AB∥OQ时，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝，
∴此时P的坐标为（）．

②如上图，当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，则四边形AOQB即是梯形，当AQ∥OB时，∠ABQ＝90°，∠QAB＝∠ABO＝60°．
又AB＝2，可求得BQ＝，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝，
∴此时P的坐标为（）．
综上，P的坐标为（）或（）．