第五章_相交线与平行线(教师教案).doc

相交线与平行线（教师教案）
第一段 典型例题
【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：
今天的内容主要包括以下几部分内容：
一． 相交线、垂线的概念
二． 同位角、内错角、同旁内角等的概念
三． 平行线的的性质和判定
【课程目标】
1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
3. 理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；
4. 掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；
5. 能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。
【课程安排】
1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解
2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解
【教师讲课要求】
教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。
第一部分 相交线、垂线
课时目标：理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
教师讲课要求
【知识要点】：请学生看一下做好上课的准备
（一）相交线
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。

图1 图2 图3
2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。
3. 对顶角的性质
对顶角相等。
4. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。

（二）垂线
1. 垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

图4
如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。
其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。
注意：垂线的定义有以下两层含义：
（1）∵AB⊥CD（已知） （2）∵∠1＝90°（已知）
∴∠1＝90°（垂线的定义） ∴AB⊥CD（垂线的定义）
2. 垂线的性质
（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。
3. 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

图5 图6
如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）
5. 画已知线段或射线的垂线
（1）垂足在线段或射线上
（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上

（三）“三线八角”
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。

范例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。
解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。
（3）这种说法是正确的。
（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。
说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。
范例2. 如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问，各是什么角？

图（1）
分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。

图（2）
答案：是同位角，是内错角，是同旁内角。

范例3 如下图（1），

图（1）
（1）是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
（2）是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。
（3）_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。
（4）与6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。
分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。

图（2）
答案：（1）1与2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
（2）1与3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
（3）是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。
（4）5与6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。
范例4按要求作图，并回答问题。

范例5作图题

范例6证明垂直

第二部分 平行线
[课时目标] 理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。
教师讲课要求
知识要点：请学生看一下准备上课
1. 平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：
（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；
（2）必须是两条直线；
（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。
两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。

名称
公共点个数
在同一个平面内
重合直线

相交直线

平行直线

不在同一个平面内
异面直线

2. 平行线的表示方法

平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB 平行于CD。
3. 平行线的画法
4. 平行线的基本性质
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
5. 平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
6. 平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。
范例1如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小

答案：50°
解析：因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP，所以∠AMF=∠MNP，所以EF∥GH，所以∠MPN=∠CME，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°

范例2如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM

答案：57.5°
解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=∠ACM=×115°=57.5°，所以∠PCM=57.5°
范例3如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小

答案：102°
解析：因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°

范例4如图，已知：∠BAP与∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F

解析：因为∠BAP与∠APD 互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F

范例5 如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明

答案：∠HOP=∠AGF－∠HPO
解析：过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB∥MN，所以∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO

范例6 如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°

分析：因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解：过点E作EF∥AB，则
∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（作图）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°
∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF
∴∠B＋∠BED＋∠D=360°

范例7. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。

解：∵AE∥BD（已知）
∴∠BAE=∠DBA（两直线平行， 内错角相等）
∵∠BAE=40°（已知）
∴∠ABD=40°（等量代换）
∵∠CBD=∠ABC＋∠ABD（已知）
∴∠ABC=∠CBD－∠ABD（等式性质）
∵∠ABD=40°（已知）
∴∠ABC=75°－40°=35°

范例8 如图，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。

分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为∠DBE的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠C=∠6 ，∠4=∠5，由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证AE∥CF，且AD∥BC了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明AE∥CF，利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件，不难推证AD∥BC。
证明：∵∠1＋∠2=180°（已知）
∠2＋∠7=180°（补角定义）
∴∠1=∠7（同角的补角相等）
∴AE∥CF （同位角相等，两直线平行）
∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证）
∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠6=∠C， ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）
又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠3=∠6（等量代换）
又AD为∠BDF的平分线
∴∠5=∠6
∴∠3=∠4（等量代换）
∴BC为∠DBE的平分线

范例9 如图，DE，BE 分别为∠BDC， ∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2
（1）说明：AB∥CD
（2）说明：∠DEB=90°
分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证∠CDB与∠ABD互补比较困难，而∠1＋∠2=∠DEB，若以E为顶点，DE为一边，在∠DEB内部作∠DEF=∠2，再由DE，EB分别为∠CDB， ∠DBA的平分线，就不难证明AB∥CD了，（2）由（1）证得AB∥CD后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠DEB=90°

证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2
∵DE为∠BDC的平分线（已知）
∴∠2=∠EDC（角平分线定义）
∴∠FED=∠EDC（等量代换）
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）
∵∠DEB=∠1＋∠2（已知）
∵∠FEB=∠1（等量代换），∠EBA=∠EBF=∠1（角平分线定义）
∴∠FEB=∠EBA（等量代换）
∴FE∥BA（内错角相等，两直线平行）
又EF∥DC
∴BA∥DC（平行的传递性）
（2）∵AB∥DC（已证）
∴∠BDC＋∠DBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠1=∠DBA，∠2=∠BDC（角平分线定义）
∴∠1＋∠2=90°
又∠1＋∠2=∠DEB
∴∠DEB=90°

第二段
一. 选择题
1. 如图1，直线a、b相交，∠1＝120°，则∠2＋∠3＝（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
答案：C

图1 图2 图3
2. 如图2，要得到a∥b，则需要条件（　　）
A. ∠2＝∠4 B. ∠1＋∠3＝180°
C. ∠1＋∠2＝180 D. ∠2＝∠3
答案：C
3. 如图3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行　　 D. 两直线平行，同位角相等
答案：A
4. 如图4，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝（　　）
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°

图4 图5
答案：C
5. 如图5所示，∥，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）
A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°
答案：B
6. 已知：如图6，∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ）
A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
答案：B

图7 图8

7．下列说法正确的是（ ）
A. 两条不相交的直线叫做平行线 B. 同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 同角的余角相等
答案：D
8．如果∠1和∠2是两平行线a，b被第三条直线c所截的一对同位角，那么（ ）
A. ∠1和∠2是锐角 B. ∠1＋∠2=180°
C. ∠1＋∠2=90° D. ∠1=∠2
答案：D
9．如图5，AB∥CD，则结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1＋∠3=∠2＋∠4中正确的是（ ）
A. 只有（1） B. 只有（2）
C. （1）和（2） C. （1）（2）（3）
答案：D

图5
10．如图6，AB∥CD，若∠3是∠1的3倍，则∠3为（ ）
A. B. C. D.
答案：B

图6 图7
11．如图7，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
答案：C
12．如图8，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD的度数为（ ）
A 110° B. 70° C. 55° D. 35°
答案：D

图8 图9
13．如图9，如果DE∥BC，那么图中互补的角的对数是（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
答案：C
二. 填空题
1． 如图7，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝________度，∠CBD的补角是_________度。
答案：72°；162°
2． 如图8，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。
答案：；；；；
3． 如图9，当∠1＝∠_____时，AB∥CD；当∠D＋∠_____＝180°时，AB∥CD；当∠B＝∠_____时，AB∥CD。
答案：；；

图9 图10
4． 如图10，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1＝40°，则∠2＝___________．
答案：
5． 若两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少30°，则两个角的度数分别是____________________。
答案：或
6．如图1，∵∠1=∠2∴（ ）∥（ ）（ ），∴∠D=（ ）（ ）又∵∠D=∠3（已知）∴∠（ ）=∠（ ）∴（ ）∥（ ）（ ）
答案：AD∥BE，内错角相等，两直线平行，∠DBE，两直线平行，内错角相等，∠DBE=∠3，BD∥CE，内错角相等，两直线平行

图1 图2
7．如图2，AD∥BC，∠1=60°，∠2=50°，则∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ），∠A＋∠ADB＋∠2=（ ）
答案： 60°，70°，70°，180°
8．图3，由A测B的方向是（ ），由B测A的方向是（ ）

图3 图4
答案：南偏东60°，北偏西60°
9．如图4，a∥b，AB⊥a垂足为O，BC与b相交于点E，若∠1=43°，则∠2=（ ）。
答案：133°
10．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角的度数分别是（ ）和（ ）
答案：42°，138°
11．在同一平面内有三条直线a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，则b与c的位置关系是（ ）。
答案：垂直
三. 解答和证明

1、如图10，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能发现BE和CF有怎样的位置关系么？并证明你的结论。

图10
答案：1、平行。∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠EBC=∠ABC，∠ FCB=∠DCB∴∠EBC=∠FCB∴BE∥CF

2、判断下面的结论是否正确，并说明理由
（1）如图11：AE平分∠CAD，AE∥BC，那么∠B=∠C

图11
（2）如图11：如果∠B=∠C，AE∥BC，那么AE平分∠CAD。
答案：正确，∵AE∥BC∴∠B=∠DAE，∠C=∠EAC∴∠DAE=∠CAE，∴∠B=∠C
正确，∵AE∥BC∴∠B=∠DAE，∠C=∠EAC∵∠B=∠C∴∠DAE=∠CAE，即AE平分∠DAC
3、如图12，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40°，求∠E的度数。

图12
答案：3、∠E=40°
4、已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，说明：BA平分∠EBF

图13
答案：设∠1=x°则∠2=2x°，∠3=3x°∵AB∥CD∴∠2＋∠3=180°即2x＋3x=180°∴x=36°∴2x=72， ∠EBA=180°－36°－72°=72°，∴∠EBA=∠2，∴BA平分∠EBF

5、已知∠α，∠AOB=90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角

答案：提示：以OB为一边在∠AOB内部作∠BOC=∠α
6． 已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．说明∠P＝．

答案：略