数学新课标全国卷与安徽卷的比较分析与备考建议.doc

安庆市重点中学2016届高三复习研讨会
材料(2015年10月15日于安庆二中)

数学新课标全国卷与安徽卷的比较分析与备考建议
安徽省太湖中学 罗华根 (中级教师)
安徽省数学高考从2006年开始自主命题，至今已有10年了. 回首安徽自主命题的历程，有稳定成功的喜悦，也有波动较大的失误.据悉，从2016年开始安徽省数学高考将使用新课标全国卷，这对于安徽省的考生来说，既是挑战也是机遇.那么作为老师更应该提前预知
新课标全国卷的命题思想、原则、结构、内容和特点，把握全国高考的方向和命题改革的方向.
　　新课标全国卷与安徽卷有什么样的区别和联系？作为高三教师,我们将要做好怎样的准备？如何引导学生从熟悉安徽卷的形式到逐步适应全国卷的命题设计？下面我将借助近五年的新课标全国卷和安徽卷数学进行比较分析，并提出备考建议,希望能给大家一点启发和帮助.
　 一、比较分析
1.题型题量的变化
　　新课标全国卷数学由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，满分150分.第Ⅰ卷选择题12题，每题5分，共60 分.第Ⅱ卷由填空题（第13题--第16题）、解答题（第17题--第21题）、选考题（第22题--第24题）三部分构成.填空题4题，每题5分，共20分；解答题5题，每题均为12分，共60分；选考题3题，每题10分，考生可在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，共10分.第1题--第21题为必考题，第22题--第24题为选考题.
　　 新课标全国卷与安徽卷比较，无论是从题量还是题型上都有了很大的变化.选择题由10题增加到12题，填空题由5题减少到4题，解答题由6题减少到5题.最大的特点是新课标全国卷还有3题选考题，考生可三选一解答，这让学生有了更多的自主选择的空间，体现了新课程的选择性、多样性和综合性.
　　2.考试内容的变化
　　新课标全国卷包括必考内容和选考内容两部分，必考内容为《课程标准》的必修1--必修5内容和选修2-1，选修2-2，选修2-3内容（文科为选修1-1，选修1-2）；选考内容为《课程标准》的选修系列4-1“几何证明选讲”，4-4“坐标系与参数方程”，4-5“不等式选讲”3个专题.
　　与安徽卷比较，必考内容主要还是以函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、不等式等为主体的考查内容，基本没有区别.考试内容上主要增加了选修系列4的3个专题作为选考内容.从考试范围而言比安徽卷更广了，从试卷难度而言也略有增大.
　　全国卷一直秉承“大稳定、小创新”的命题理念，突出了对数学思想方法、数学理性思维和数学能力的考查.通过对近5年新课标全国卷的研究和归纳可以发现，全国卷的试卷结构和题型的设置还是相对稳定的.现做出以下简单归纳供其参考.
选择题和填空题的考查内容和题量:
知识点分布
题量
集合与简易逻辑
1
复数
1
程序框图
1
三视图
1
三角函数
2
解三角形
1
向量
1
线性规划
1
空间几何体
1
概率
1
圆锥曲线与方程
2
函数性质与导数
2
二项式定理
1
总题数
共16题
解答题主要考查的内容有：数列、立体几何、概率与统计、解析几何、导数及其应用.其中对数列的考查放到了解答题的第1题，由此看出数列在高考中的难度有了较大的降低.解析几何和导数主要放在后两题压轴.另外新课标全国卷比安徽卷的解答题少一题，通过比较发现解答题中少了对三角函数和解三角形知识点的考查，对这两个知识点的考查主要放在前面的选择和填空中.
　　选考内容是新课标全国卷与安徽卷的最大区别.三选一看似给考生带来了很大的自主选择空间，可以挑自己拿手的做，实质上在考试时是会给不少学生带来困惑.首先要浏览三道题进行难易鉴别，若在选题时犹豫不决，这些都将会浪费大量的时间.其次有的题目看似简单实则不易，若选错题将会无功而返.
　 二、备考建议
1.选修4系列的课该怎么上.这是一个新问题，是都上还是选上？在高考中该如何对选考题进行取舍还需一线教师平时多研究多探讨，将方法教给学生.我校倾向于上选修4-4,4-5,三个都上没有时间.
2.学习研究新课标全国卷《考试大纲》.深入学习研究新课标全国卷《考试大纲》和安徽卷《考试说明》在各个知识点上要求的变化，弄清各个知识点考查的能力层次，把握高考复习方向，明确重点、难点，突破学生知识盲点和易错点.
　 3.抓好常规课堂教学.注重基本知识，基本技能的教学.引导学生自主进行知识的梳理、总结基本方法，培养学生构建知识网络的意识和习惯，完善学生的认知结构.关注通法通性，在日常教学中不搞偏题怪题.在复习过程中可以将近几年的新课标全国卷的试题作为练习或分解到课堂教学中.高三的复习课特别是第一轮复习，不能只追求课堂容量，应多给学生思考的时间，多让学生暴露思维的误区，让学生在合作学习中纠正错误的认识.
　　4.备课组要团结协作提高效益.在高考复习中备课组教师应团结一致，协作分工，群策群力，实现资源共享，形成最大合力，促进共同提高.
5. 向客观题发起进攻, 提高速度. 数学高考不仅是能力之战、心理之战，还是速度之战. 在数学高考中，若能正确、快速地处理好第一部分的客观性试题（选择和填空共16题）, 既有助于增强考试信心、保持良好的考试心态，又能为后面的主观性试题的解决赢得时间. 新课标全国卷的客观题比安徽卷多1题, 后面大题仍是6题,这就对解客观题的速度提出了较高的要求(一般控制在42分钟以内). 因此要加大对客观题的训练力度, 训速度、训思路、训准确. 有人说，正确、快速地解决了前面的客观题，你的数学高考就成功了一大半，这话很有道理. 由于客观性试题的特点，决定我们常常可以运用数形结合法、特殊化思想、验证法、排谬法、类比猜想法、合情推理法等等，目的是缩短思维流程，减化解题过程, 快速解决问题.
6. 加大纠错训练, 提高正确率. 高考中出现错误是难免的，但如果复习阶段注重对这方面的总结、训练和有意识的强化，往往能避免一些不必要的错误，增加得分. 有专家学者就认为, 数学复习的终极目标就是杜绝错误. 复习阶段想方设法减少解题中的错误, 将错误率降到最低程度是我们每个老师和考生的追求.
解题中的错误概括起来,一般有下列几种情形: ①审题性错误: 主要指审题不仔细、不理解题目的意思、无法找到解题思路等等导致的错误. ②知识性错误: 主要指基础知识掌握得不牢靠、记忆不请,用错概念、公式、法则、性质、定理等导致的错误, 如求的导数常常出现等错误. ③方法性错误: 主要指选择的解题方法或繁或难或运算量太大或无法求解等导致的错误. ④运算性错误: 主要指粗心大意或算理不清造成运算上的错误, 这是解题中出现频率较高的一种错误. ⑤不良习惯性错误: 主要指看错 (如看成6)、抄错（草稿纸上是正确的，但抄到答卷上是错的）、填错（想好、算出的是B，填卡时却是C）、书写潦草、格式不规范、理由不完整等导致的错误, 这种错误也不少见.
应该说, 出现错误的原因是某些方面有漏洞、有缺陷、有薄弱点，那么如何克服呢? 可以从两个方面入手: ①有计划地重新审视、反思试卷和错题本上曾经做错的题目，找到错误原因，并采取相应的补救措施.比如本题考查了哪些知识和方法，有什么技巧，易错点是什么，等等. ②对自己的薄弱点, 加大复习的力度, 通过强化练习迅速提高. 比如, 解析几何大题往往都放在后两题的位置.这些大题覆盖面广、运算量大、综合性强，有较大的难度, 学生在模拟考中常常出错. 可以采取每天做一题的方法, 逐渐熟悉求解解析几何综合题的一些重要思想方法(坐标思想、方程思想、消元思想、整体思想、化归思想、数形结合思想等等)，提高运算能力. 对于想上重点大学的学生而言, 这种题目又是必须过的一道关.
实践表明,让学生经历错误的产生、辨别、改正、反思的过程，就会在他们的心灵深处留下痕迹, 就会记忆深刻,从而减少不必要的错误, 提高解题的正确率.
7. 重视核心思想方法, 提高解题能力.《考试大纲》中明确指出，数学高考旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，所以回归“三基” 仍然是复习阶段的第一要务. 在章末可以提炼一些核心的思想方法, 将基础知识、基本技能、基本方法连成线、铺成面、织成网，既实现三基回归, 又使学生头脑里形成比较清晰的知识系统和方法系统，以便解题中能顺利地从自己的“记忆库”中提取所需要的知识和方法. 这是由厚到薄的过程，是数学思维水平和综合能力提升的过程. 比如，抽象函数是每年高考经久不衰的考查热点, 赋值法是解抽象函数问题核心的思想方法. 另外，还有向量、概率统计、导数、线性规划等新增内容中的核心思想方法也不能忽视, 大家可以选择典型题目进行强化.那种核心思想方法都放到第二轮、第三轮的方法不可取，学生往往难以接受.平时的单元渗透是有效途径.
8.以研究性学习为载体, 冲刺高分. 研究性学习是数学新课程的一大亮点. 这种学习方式对全面提高学生探究能力、数学思维和创新精神都有巨大的作用. 对于想在高考获得更好数学成绩的学生来说，这又是必须的. 首先，可以选择历年精彩高考题，通过背景分析、多向求解、广泛联想等方面对其进行全面透视，发掘学生的潜能，深化思维层次，提高探究能力.比如2014年安徽文科数学卷中的第21题、理科19题就可以进行引申联想、类比联想、逆向联想和混合联想. 其次，鼓励有能力的学生根据自己的实际实施专题突破，进一步提高综合能力和思维水平. 第三，将数学竞赛中的部分试题抛给优秀学生，让他们在探索中阅读新知识、领会新思想、学到新方法，提升数学素养.

【参考文献】
1．《2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明（文理科数学），安徽省教育招生考试院编.
2．《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文理科数学），高等教育出版社，2015,02
3．《2014年一道高考解析几何压轴题透视》，李昭平，《上海中学数学》2014年第11期.
4．《对高三数学备考复习的几点思考》，李昭平，教学考试（高考数学）（北京）2014年第6期.
5．《数学冲刺阶段做什么》，李昭平，成功密码（高考数学）（江西）2015年第4期.

附：新课标全国卷考试说明中选考内容与要求
　 1. 几何证明选讲
　　(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.
　　(2)会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
　　(3)会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
　　(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影，会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
　　(5)了解定理：在空间中，取直线L为轴，直线L′与L相交于点O，其夹角为α， 围绕L旋转得到以O为顶点，L′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与L轴交角为β(π与L平行，记β=0)，则：
　　① β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆.
　　② β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线.
　　③ β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.
　　(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球证明上述定理①的情形：当β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆.
　　(7)会证明以下结果：
　　① 在(6)中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在平面为π′.
　　② 如果平面π与平面π′的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点A，改丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).(8) 了解定理(5)③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.
　 2. 坐标系与参数方程
　　(1)坐标系
　　①理解坐标系的作用
　　②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变换情况.
　　③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
　　④能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标中的方程，理解用方程表示平面图片时选择适当坐标系的意义.
　　⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
　　(2)参数方程
　　①了解参数方程，了解参数的意义.
　　②能选择适当的参数写出直线、圆与圆锥曲线的参数方程.
　　③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
　　④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
　 3.不等式选讲
　　(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
　　①.
　　②|a-b|≤|a-c|+| c-b|.
　　③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
　　| ax+b |≤ c ； | ax+b |≥c； | x-a |+| x-b |≥c.
　　(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明：
　　①柯西不等式的向量形式： .
②
③　　　　　　　　　　　　　　　　　
(此不等式通常称为二维形式的三角不等式.)
　　(3)用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
　　(4)会用向量递归方法讨论排序不等式.
　　(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
　　(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式： （1+x）n＞1+nx（x＞-1，x≠0,n 为大于1的自然数），了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立.
　　(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.
　　(8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法.
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