三元一次方程组的解法-.docx

8.4三元一次方程组的解法
一、教学目标
1、知识与技能：掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法，并能利用它解决问题。
2、过程与方法：在学习解三元一次方程组的过程中感受消元转化的思想。
3、 情感、态度与价值观：培养学生勇于探索，敢于创新的精神。
二、重点：三元一次方程组的解法。
三、 难点：三元一次方程组的解法过程中的方法选择。
教学过程
一、 出示教学目标
学习目标：学习三元一次方程组及其解法和应用
让学生明确目标，提高课堂效率。
二、 知识回顾，引入概念。
教师从一元一次方程，二元一次方程组的概念，引导学生说出三元一次方程组的概念。
1、一元一次方程的概念 ？
2、二元一次方程组的概念 ？
3、类比二元一次方程组的概念，聪明的你想想三元一次方程组的概念会是什么？ 你能举例说明吗？
通过学生举例，深化概念，教师再出示概念。
三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
像 等都是三元一次方程组.
要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
三、探究三元一次方程组的解法
下面这个方程含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这就是个做三元一次方程组． x+y+z=12①x+2y+5z=22②x=4y③
怎样解这个三元一次方程组呢？
学生分组讨论，自主学习探究
教师引导：我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？
在学生充分讨论的基础上教师出示思路和解法分析。
依照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①、②，得到两个只含y，z方程：
4y+y+z=12
4y+2y+5z=22
把它们组成方程组5y+z=126y+5z=22
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而可求出x．
归纳思路
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．
四、小试牛刀
根据以上学习，解以下三元一次方程组：
（1）y=2x-75x+3y+2z=23x-4z=4                 （2）2x+4y+3z=93x-2y+5z=115x-6y+7z=13．
给学生充足的时间完成，等学生基本完成后，教师再展示完成优秀的过程
解：（1）y=2x-7①5x+3y+2z=2②3x-4z=4③’
将①代入②得：5x+6x-21+2z=2，即11x+2z=23④，
④×2+③得：25x=50，即x=2，
将x=2代入①得：y=-3，
将x=2代入③得：z=12，
则方程组的解为x=2y=-3z=12；
（2）2x+4y+3z=9①3x-2y+5z=11②5x-6y+7z=13③，
②×2+①得：8x+13z=31④，
②×3-③得：4x+8z=20⑤，
⑤×2-④得：3z=9，即z=3，
把z=3代入④得：x=-1，
把x=-1，z=3代入①得：y=12，
则方程组的解为x=-1y=12z=3．

五、 巧解特殊形式的三元一次方程组
比赛看谁能先解出方程组a+b=2b+c=4c+a=6，x2=y3=z4x+y+z=18.你有好办法吗？
教师引导学生观察第一个方程组中未知数的系数都为1。
等学生讨论后给出解答
解：：由①+②+③得：2（a+b+c）=12，即a+b+c=6，
将①代入a+b+c=6得：c=4；
将②代入a+b+c=6得：a=2；
将③代入a+b+c=6得：b=0，
解则方程组的解为a=2b=0c=4：a+b=2①b+c=4②c+a=6③
引导学生分析第二个方程组x2=y3=z4x+y+z=18.．
解析：方程x2=y3=z4为一个连比式，x,y,z分别分成2、3、4份，可设每一份为一个未知数，然后求解。设x2=y3=z4=k，表示出x，y，z，代入第二个方程求出k的值，即可确定出x，y，z的值．
解：设x2=y3=z4=k，则有x=2k，y=3k，z=4k，
代入x+y+z=18得：2k+3k+4k=18，
解得：k=2，
则x=4，y=6，z=8．
因此，这个方程组的解是x=4y=6z=8

六、 三元一次方程组在生活中的实际应用

例：某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
教师在学生独立思考完成后出示解答
解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得： x+y+2z=674x+8y+5z=300x+y+z=51，
解得：x=15y=20z=16，
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
七、 小结与作业
1、 小结：谈谈你对三元一次方程组的解法的认识
2、作业：习题8.4第3、4、5
板书设计：
一、 出示学习目标
二、 知识回顾，引入概念
三、 探究三元一次方程组的解法
四、 小试牛刀
五、 巧解特殊形式的三元一次方程组
六、 三元一次方程组在生活中的实际应用
七、 小结与作业