第二章圆锥曲线(3).doc

章末检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.双曲线3x2－y2＝9的实轴长是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
答案　A
解析　∵3x2－y2＝9，∴－＝1，
∴a＝，∴2a＝2.
2.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　∵2p＝8，∴p＝4.
3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是(　　)
A.k>3 B.2<k<3
C.k＝2 D.0<k<2
答案　C
解析　k>0，c＝＝，∴k＝2.
4.F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案　A
解析　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，
∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，
∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，
∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆.
5.直线y＝x＋3与曲线－＝1(　　)
A.没有交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.有三个交点
答案　D
解析　当x>0时，双曲线－＝1的渐近线为：y＝±x，而直线y＝x＋3斜率为1,1<，
∴y＝x＋3与x轴上半部分的一支双曲线有一交点.
当x≤0时，曲线＋＝1为椭圆，
又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点，
∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点，选D.
6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可得
解得＝，∴e＝＝.
7.与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　)
A.(1,0) B.(，0)
C.(－1,0) D.(0，－)
答案　C
解析　x2＝4y关于x＋y＝0对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0).
8.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)

A. B. C. D.
答案　D
解析　|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.
∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，
∴a＝，∴e＝＝＝.故选D.
9.已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案　A
解析　∵抛物线焦点为(－1,0)，∴c＝1，
又椭圆的离心率e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.
10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.
11.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
答案　C
解析　由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
12.从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T.延长F1T交双曲线右支于P点，若M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为(　　)
A.|MO|－|MT|>b－a B.|MO|－|MT|＝b－a
C.|MO|－|MT|<b－a D.不确定
答案　B
解析　如图，设双曲线的右焦点为F2，

连接PF2.
∵O、M分别为F1F2、F1P的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线，
∴|OM|＝|PF2|，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝|PF1|－2a，
∴|MO|－|MT|＝(|PF1|－2a)－|MT|
＝|PF1|－|MT|－a＝|MF1|－|MT|－a
＝|TF1|－a＝－a
＝－a＝b－a.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________.
答案　y＝±x
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即y＝±x.
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当⊥时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e＝________.

答案　
解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得
∵⊥，
∴|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
∴(a＋c)2＝a2＋b2＋a2，
∴c2＋ac－a2＝0.
∴e2＋e－1＝0，又0<e<1，
∴e＝.
15.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
答案　2
解析　由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，
由抛物线定义，xA＋＝|AF|，
∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，
从而|BF|＝|AF|＝2.
16.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是________.
答案　－y2＝1
解析　由PF1⊥PF2，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
由已知，得||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c＝2，|PF1|·|PF2|＝2⇒(2a)2＋2×2＝(2)2⇒a2＝4⇒b2＝c2－a2＝5－4＝1.则双曲线方程为－y2＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)双曲线－＝1(a>0，b>0)，过焦点F1的弦AB(A，B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长.
解　∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，
∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)＝4a＋m.
∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
18.(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
解　(1)由
得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.
故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19.(12分)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点.求证：△AOB是钝角三角形.
证明　∵焦点F为(1,0)，过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为ky＝x－1，代入抛物线y2＝4x，
得y2－4ky－4＝0，则有yAyB＝－4，
则xAxB＝·＝1.
又|OA|·|OB|cos∠AOB＝·
＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0，
得∠AOB为钝角，故△AOB是钝角三角形.
20.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.
(1)解　∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明　∵点M(3，m)在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)解　S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
21.(12分)已知椭圆G：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
解　(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
22.(12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值.
解　(1)由已知得e＝＝，＋＝1，
又c2＝a2－b2，所以a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的方程为：＋y2＝1.

(2)方法一　如图，由题意知
＝即＝＝，整理得：
m＝(|PF1|－2).
又a－c<|PF1|<a＋c，即2－<|PF1|<2＋.
∴－<m<.故m的取值范围为m∈.
方法二　由题意知：＝，
即＝.
设P(x0，y0)，其中x≠4，将向量坐标化得：m(4x－16)＝3x－12x0.
所以m＝x0，而x0∈(－2,2)，所以m∈.
(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为
y－y0＝k(x－x0).
联立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
所以Δ＝64(ky0－k2x0)2－16(1＋4k2)(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0.
故k＝－，又＋＝＋＝.
所以＋＝
＝·＝－8.
所以＋为定值，这个定值为－8.