圆锥曲线求曲线方程.doc

曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。类型二常用的方法有定义法和待定系数法。
（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。
（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。
（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。
热点透析
题型1：直接法
【例1】已知定点A、B，且AB=2a。如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。
如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。
设P（x，y）。∵     即
化简整理，得，
即。
这就是动点P的轨迹方程。它表示以为圆心，为半径的圆。
热身训练1已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
解:建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0),B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点.
　则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
　(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
　(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).
　(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.
　　点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆.
热身训练2、给定抛物线y2=8(x+2)，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程。
解：抛物线y2=8(x+2)的焦点为（0，0），准线为x= -4,由题意知，x= -4必为椭圆的左准线，设椭圆短轴端点为B(x,y)
(1)若（0，0）点为椭圆左焦点，则c=x,b=,e=,
　由定义得
(2)若（0，0）点为椭圆右焦点，则c= -x,b=,e=,而左焦点为（2x,0）,
　由定义得
题型2：定义法
【例2】已知方程为，定点A（4，0）。求过点A且和相切的动圆圆心P的轨迹。
【分析】由于动圆过A点，所以|PA|是动圆的半径。当动圆P与圆O外切时，|PO|=|PA|+2，即|PO|-|PA|=2；当动圆P与圆O内切时，有|PO|=|PA|-2，所以有||PO|-|PA||=2。可以看出动点P的运动满足双曲线的定义，因此可将问题转化为用定义法求轨迹方程。
【解】设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|是动圆半径。
　当动圆P与外切时，|PO|-|PA|=2；
　当动圆P与内切时，|PA|-|PO|=2；
　∴有||PO|-|PA||=2。
　∴P点的轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，
　中心在OA的中点（2，0），实半轴长为a=1，半焦距c=2，虚半轴长。
　∴所求点P的轨迹方程为。
【例3】已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点R（1，2）。
（1）求此双曲线右焦点F的轨迹；
（2）过R与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程。
【解】（1），  又，
　∴，设右焦点F（x，y），由双曲线定义，得
　，  ∴。
　∴双曲线的右焦点F的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆。
（2）设Q（x，y），由双曲线的定义得
　，  ∴，
　∴，即。
热身训练1  如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？

解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。
　其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，
　即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。
　建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，
　在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。
说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。
热身训练2、已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。
解：由中垂线知，故，
　即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为
热身训练3某检验员通常用一个直径为2.cm和一个直径为1.cm的标准圆柱，检测一个直径为3.cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,
　使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,
　则　|PA|+|PO|=(1+r)+(1.5－r)=2.5

　∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
　=1　　①                                        
　同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为
　(x－)2+y2=1　　　②
　由①、②可解得，
　∴r=　　故所求圆柱的直径为cm.
题型3：相关点法
【例4】如图所示，从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

 【分析】因动点P随动点Q的运动而运动，而动点Q在已知双曲线上，故可用相关点法求解。从寻求Q点的坐标与P点坐标之间的关系入手。
【解】设动点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为，则N点的坐标为。因为点N在直线x+y=2上，所以。　　①
　又因为PQ垂直于直线x+y=2，所以，即
　。　　②
　由①、②两式联立解得 　　③
　又点Q在双曲线上，所以。　　④
　将③式代入④式，得动点P的轨迹方程是     。
【评析】利用相关点法求动点轨迹方程的关键是能用所求动点的坐标x、y表示出已知曲线上动点Q的坐标、。
热身训练1已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解:设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
　又因为R是弦AB的中点，依垂径定理:在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
　又|AR|=|PR|=
　所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
　因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
　设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,
　代入方程x2+y2－4x－10=0,得　－10=0
　整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
[错解分析]:欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.
[技巧与方法]:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
题型4：参数法
【例5】如图3所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程。

【解】设所求点M的坐标为（x，y），则平行四边形中心N的坐标为。
　而双曲线左焦点F为（-2，0），
　当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设l：y=k(x+2)。
　与双曲线方程联立消去y，得。
　又设P、Q的坐标分别为，由韦达定理知。
　∵N为PQ的中点，
　∴　　即
　消去参数k得，这就是点M的轨迹。
　当直线l垂直于x轴时，此时M为（-4，0）仍满足上述方程。
　故点M的轨迹方程为。
热身训练1设点A和B为抛物线.y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y).(x≠0)
　直线AB的方程为x=my+a
　由OM⊥AB，得m=－
　由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0
　所以y1y2=－4pa,.x1x2=
　所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2
　所以
　故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
　故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
解法二:设OA的方程为，代入y2=4px得
　则OB的方程为，代入y2=4px得
　∴AB的方程为，过定点，
　由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
　故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
　解法三:设M(x,y).(x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得
　则OB的方程为，代入y2=4px得
　由OM⊥AB，得M既在以OA为直径的圆:……①上，
　又在以OB为直径的圆:……②上（O点除外），
　①+②得.x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
[错解分析]:当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.
[技巧与方法]:将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.
热身训练2  经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。
解：A（- 2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).
与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，
则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，
又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。
题型5：几何法
【例6】如图所示，P、Q分别是两边上的两个动点，若，的面积等于8，求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】本题由于的对称性及P、Q关于中点的对称性可以判断中点M的轨迹一定关于的平分线对称。由此我们以的平分线所在直线为x轴建立坐标系，得到的曲线方程较简单。
【解】以的平分线所在直线为x轴，顶点O为坐标原点建立直角坐标系。
　则射线OA的方程为，射线OB的方程为。

　设，
　则    即
　得。
　∴，即。
热身训练1抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，
　设A（，B（所以kOA= kOB=,
　由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,
　又AB方程可求得，
　即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,
　把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0　①
　又OM的方程为 　　②     
　由①②消去得yA+yB即得，　即得。
　所以点M的轨迹方程为，
　其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。
最新考题探究
曲线的轨迹是解析几何中非常重要的内容之一，是最能体现解析几何特色的内容，因而成为高考的热点，曲线方程问题几乎年年考，一般为中等难度以上题目。它是考查我们根据曲线的几何特征熟练运用解析几何知识将其转化为数量关系，再运用代数知识作答的能力。
【考题】（2006年高考·广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值，xOy平面上点A、B的坐标分别为，该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点。求：
（I）点A、B的坐标；
（II）动点Q的轨迹方程。
【分析】考查函数的导数、极值的概念；向量的坐标运算、点关于直线对称等知识以及“动点转移”求轨迹方程的方法，综合考查学生应用知识的能力。
首先求，令，求出的值，得到A、B两点的坐标。利用向量的数量积可求得动点P的轨迹方程。根据P、Q对称性求出P、Q两点坐标的关系，利用“动点转移”法将动点P的轨迹方程转移到动点Q的轨迹方程即为所求。
【解】（I）令，解得x=1或x=-1
　当x<-1时，；当-1<x<1时，，当x>1时，
　所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1处取得极大值，故，f(-1)=0，f(1)=4
　所以，点A、B的坐标为。
（II）设，
　，所以，
　又PQ的中点在y=2(x-4)上，
　所以
　消去m，n得。
【评析】（1）对某些较复杂的探求轨迹方程问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。
（2）本题考查的知识丰富、涉及面广、综合了学科内的许多知识点。因此解题时要善于分散难点、化整为零、各个击破、扫清外围，重点解决题中的轨迹问题，这样解题时才会立于不败之地。