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经历表格形成 构建数学模型
——一道一年级习题引发的思考及教学尝试
【案例背景】
人教版义务教育教科书在一年级上册第96页中第一次出现表格问题（如表1），这类问题是对问题情境的高度概括，通过这类问题的学习有利于学生从不同的问题中抽象出共同的数学模型，并能发现不同数学模型之间的联系，另一方面也能为高年级乃至中学阶段学习函数关系打下基础。

一班
二班
一共

7个
6个
个

4条
7条
条

表1
然而，很多教师在教学中往往只是把表格问题当做习题来对待，忽视了这类问题对学生整理题目中的信息、问题的经验积累所起到的作用。后来与去年执教过一年级的教师交流时，他们发表了这样的观点：“现在新教材很强调：‘①你知道了什么？②怎样解答？③解答合理吗？’，所以我在引导学生学习这类问题时，我都是让学生按照这个步骤想一想，规定了这样的解决问题程序后，学生的错误率大大降低。”听罢此话，笔者不由产生如下思考：对这部分内容真的只能这样教学吗?有没有更好的教学方法呢?
【我的思考】
表1中的这个题目，是学生第一次接触的表格问题，如果学生没有经历这个表格的形成过程，理解表格的结构，那么碰到稍复杂的表格问题的时候就难免出现已知信息和要解决的问题出现混淆的情况；如果学生只是逐个解决表格中的问题，那么对表格问题只能停留在表面的认识，就不能在后续的表格问题学习中，主动提取出思路和经验。
通过以上的思考，摆在我面前的问题是如何抓住表格问题的本质，使学生在学习了这节课后能力有所提升。
因此，本节课重点我认为应该从以下几方面入手：
1、经历问题的压缩过程，积累信息整合的学习经验
本节课如果仅仅直接出示表格问题，让学生按照“①你知道了什么？②怎样解答？③解答合理吗？”这一模式去学习，学生就不能很好的体会到表格问题与图文结合问题、纯文字描述问题之间的联系。因此本节课的教学，应该在学生原有的知识——图文结合的实际问题的基础上，使学生经历图文结合问题进行压缩形成表格问题的过程。在这个过程中，学生不仅仅能体会到表格问题是一类对实际问题高度抽象与概括的问题，同时也为学生后续学习解决问题提供足够的学习经验。
2、经历表格的展开与压缩过程，构建数学模型
学生经历了问题压缩后，体会到表格问题是对几个问题的高度整合之后，还要让学生对表格进行展开和压缩，让学生在展开和压缩表格的过程中认识到同一表格里面如果问题处于相同的位置，那么解决问题的思路相同，并且让学生学会基于解决问题的思路，提炼出数学模型。
3、经历表格的变化过程，获得问题转化的经验
经历表格的变化，不仅有利于学生从表格中抽象出数学模型，更有利于学生从中把握同一数学模型不同表达形式之间的联系。学生在一年级学习表格问题时，教师不仅要让学生能够解决表格问题，还要使学生学会把问题里的已知信息和要解决的问题进行灵活转换生成新的问题。
【案例描述】
[教学片断一]
课件出示：

　　让学生提出问题，然后根据学生的回答整理出以下的问题。

师：读完这两道题，你有什么想法？
　　生：这两个题目都太罗嗦了，第一题画了三次篮球，第二题画了三次跳绳。
　　师：你观察的真仔细啊！发现了问题里相同的地方，那能不能把第1小题变得简单一点呢？
　　生：可以说一班有7个，二班有6个，一共有多少个？
　　（师板书：一班有7个，二班有6个，一共有 个）
　　师：学生们想一想：如果只是这样整理，其他人能知道这里的7个和6个是什么东西吗？
生：不知道。
师：那你们有什么好办法使其他人一目了然地看出7个和6个表示的东西呢？
生：我们可以在最前面画一个篮球。
　　师：这种方法真不错，你真会动脑筋。这样问题就变得更清楚、更简单了。（根据学生的发言完成板书。）
　　师：第2小题你们也能像这样整理吗？
　　（学生自主交流，老师完成板书。）
　　 一班有7个，二班有6个，一共有个

一班有4条，二班有7条，一共有条
　　师：同学们，你们再看看这些问题，你们还能够让问题变得更加简单吗？
　　生：每一列都有“一班”、“二班”和“一共”。我们可以把它们放到每一列的最上面。
　　师：太棒了！数学家们就是这样想的！根据大家的想法，再画上线，最后就变成了这样一个表格（如表1）。
【设计意图：本环节呈现两道完整的实际问题，通过两次“能否变得简单一点”的追问让学生发现两个问题中的相同点，从而形成数学书上的表格问题。在这个过程中学生经历了表格的形成过程，获取了问题压缩以及对几个问题整合的经验。这对学生读懂表格里的信息及问题大有裨益。】
[教学片断二]
先让学生解决表1中的问题。
师:你们还能提出一些这样的问题吗？
生:一班有9个足球，二班有6个，一共有多少个？
生:一班有8个毽子，二班有5个，一共有多少个毽子?
师：如果老师给这个表格下面添加一些格子，你能把这两个问题填进去吗?
（生独立完成）
师:像这样的问题能写得完吗?
生:写不完。
师:这许许多多的问题有那些相同点?
生:都是告诉我们一班的物体数量和二班的物体数量，求一共有多少的问题。只是有的是篮球，有的是足球，有的是跳绳……
生:后面的问题其实都和第一个篮球的问题是相同的，都是用一班的加上二班的等于一共的。
师:这几位同学真会思考，可以从不同的问题中发现了相同的解决问题的过程。其实，表格向下拉可以拉得很长很长(如表2)，可以补充很多很多的问题，而这些问题，我们只要找到了第一个问题的解题思路(如表3)，那么后面的所有问题就都能迎刃而解了。

一班
二班
一共

7个
6个
个

4条
7条
条

……
……
……
……

表2

一班
二班
一共

7个
6个
个

……
……
……
……

表3
【设计意图：通过让学生把表格展开生成很多的问题，这加深了学生对“加法”这一数学模型的具象认识，再通过对表格的压缩，构建出抽象的“加法”数学模型，使学生经历了一个“数学化”的过程，获得了去除具体情境把握问题本质的经验，培养了学生的抽象思维能力。】
[教学片断三]
出示表4

一班
二班
一共
围棋
8副
7副
副

表4
首先让学生观察表格第一行，让学生独立解决这一问题，然后再组织交流。
师:想一想，这个表格里的横线除了可以放在“一共”的位置，还可以放在哪些位置?这个时候就需要告诉我们哪些信息?你能够编出这样的问题吗?
生:横线在一班的位置，就需要知道一共有多少和二班有多少。
师：你编的问题是？
生：一共有10个乒乓球，二班有4个，一班有几个?
生:横线在二班的位置，就需要知道一共有多少和一班有多少。我编的问题是:一共有9副象棋，一班有4副，二班有几副?
(根据学生的问题生成相应的表格5。)

一班
二班
一共
围棋
8副
7副
副

乒乓球
个

4个
10个
象棋
4副
副

9副

表5
师:你们能够解决这些问题吗?
(学生独立解决，然后交流思路。)
生:第一个问题是用一班的加上二班的等于一共的，第二个问题是用一共的减去二班的等于一班的，第三个问题是用一共的减去一班的等于二班的。
师:这里都是关于一班的物体数量、二班的物体数量和一共的物体数量的问题，但是交换了已知信息和需要解决的问题，解题思路就会发生变化。
【设计意图：通过让学生变换横线（问题）在表格里的位置，转换生成新的数学问题，可以让学生在解决问题的过程中不再用单一刻板的思路去思考，加深了学生对不同数学模型之间联系的认识，为灵活选择合适的数学模型解决问题打下基础。】
【案例反思】
华东师范大学吴亚萍教授认为：在过去，由于关注知识的传递，即通过一节课的教学让学生能够围绕一个知识点进行知识理解、公式掌握，然后运用公式、结论来解题，最后获得这个知识点的牢固掌握和考试成绩的提高。通过这样一节节课的“点状”教学，产生“知识累加”的效应。然而，这样的教学并不能很好地促进学生数学素养的发展。
如果我们的教学视野仅仅局限在问题本身，学生所学的知识必然是琐碎的，难以形成完整的知识结构，难以完成渗透数学思想方法的任务，难以发展学生的能力。对于一年级的表格问题，绝大多数学生解决起来并不困难，但从学生的长远发展来看，我们非常有必要弄清表格问题的核心内涵，善于往深处挖掘、往广处拓展，不能做到这一点，数学课就会索然无味，就不能将培养学生思维的深刻性、批判性、灵活性等落实到位。由此，我想到了乔布斯的一句话：你要坚信，你现在所经历的，将在你未来的生命中串联起来。我们的数学教学更应该坚信：深刻的价值体验会给学生留下丰富的学习经历，这样的学习经历，将在学生未来的学习中发挥巨大的促进作用。
像这节课，不应该只停留在解题上，而应该在这些简单的内容中挖掘深邃的思想。课后，通过与学生的谈话与后测中可以看到，学生基本上能比较全面地掌握表格问题所蕴含的“模型化思想”，对这类问题也有了更深刻的认识。总体来说这节课的效果还是可以的，分析一下，我认为有以下两个原因。
1、把握核心，从本质入手研究问题
歌德说过：经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看纸上的话，一只眼睛看纸的背面。表格问题的核心价值是能在繁多的数学问题中对问题情境进行高度概括和从不同的问题中抽象出共同的数学模型来。G.波利亚也曾指出：儿童的数学化过程就是儿童“自我组织”数学学习材料的过程。因此，课始我呈现两道完整的实际问题，通过两次“能否变得简单一点”的追问让学生发现两个问题里的相同点，最后形成数学书上的表格问题。教学实践表明：立足表格问题的本质，用它去统筹整堂课的设计，学生对表格问题的理解很深刻，同时也能为高年级乃至中学阶段学习函数关系打下基础。
2、逐层抽象，从模型视角完成建构
《易经》里有云：形而上者谓之道，形而下者谓之器。这里的“形而上”就是抽象的东西，同样，数学的抽象也理应是“形而上”，即从大量的感性认识向理性飞跃时所积淀下来的认识。数学模型非常抽象，不可向学生置言，但教师可以从模型的视角去教学，帮助学生在头脑中建立起数学模型。本节课通过让学生把表格展开、压缩和变换问题在表格里的位置即加深了学生对数学模型的具象认识，又构建出了抽象的数学模型，使学生经历了一个“数学化”的过程，获得了去除具体情境把握问题本质的经验，加深了学生对不同数学模型之间联系的认识，为灵活选择合适的数学模型解决问题打下基础，培养了学生的抽象思维能力。