高考专题训练二十六 分类讨论思想.doc

高考专题训练二十六　分类讨论思想
班级_______　姓名________时间：45分钟　分值：75分　总得分_______
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为(　　)
A．4或5　　　　　　　　 B．4或32
C．5或32 D．4,5或32
解析：若a5为偶数，则a6＝＝1，即a5＝2.
若a4为偶数，则a5＝＝2，∴a4＝4；
若a4为奇数，则有a4＝(舍)．
若a3为偶数，则有a3＝8；若a3为奇数，则a3＝1.
若a2为偶数，则a2＝16或2；
若a2为奇数，则a2＝0(舍)或a2＝(舍)．
若a1为偶数，则a1＝32或4；
若a1为奇数，有a1＝5或a1＝(舍)．
若a5为奇数，有1＝3a5＋1；所以a5＝0，不成立．
综上可知a1＝4或5或32.
答案：D

点评：本题考查了分类讨论的应用，要注意数列中的条件是an为奇数或偶数，而不是n为奇数或偶数．
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.或－3
解析：当a<0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；
当a>0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝.
答案：D
3．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．
∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2.
答案：B

4．0<b<1＋a，若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)
A．－1<a<0 B．0<a<1
C．1<a<3 D．3<a<6
解析：(x－b)2－(ax)2>0，(x－b－ax)(x－b＋ax)>0.
即[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0. ①
令x1＝，x2＝.
∵0<b<1＋a，则0<<1，即0<x2<1.
当1－a>0时，若0<a<1，则不等式①的解集为∪，不符合题意．
若－1<a<0，不等式的解集为∪，不符合题意．
当1－a<0时，即a>1时，需x1＝<－2，a＋1>b>－2(1－a)，∴a<3.
综上，1<a<3.故选C.
答案：C
5．已知a＝(－1，－2)，b＝(1，λ)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：∵〈a，b〉为钝角，∴a·b<0，即有λ>－.又当λ＝2时，a与b反向．故选C.
答案：C
6．对任意两实数a，b定义运算“*”如下，a*b＝则函数f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域为(　　)
A．(－∞，0] B．[log2，0]
C．[log2，＋∞) D．R
解析：根据题目给出的情境，得f(x)＝log (3x－2)*log2x＝log2*log2x＝由于y＝log2x的图象在定义域上为增函数，可得f(x)的值域为(－∞，0]．故选A.
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围为________．
解析：设2x＝t(t>0)，则函数可化为g(t)＝t2＋at＋a＋1，t∈(0，＋∞)，函数f(x)在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于函数g(t)在(0，＋∞)上有零点．

(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a应满足
解得－1<a≤2－2.
(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1.
(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1，a＝－1，此时可求得函数g(t)的另一个零点是1，符合题目要求．综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2－2.
答案：a≤2－2
8．连掷两次骰子得到的点数为m和n，记向量a＝(m，n)，与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是________．
解析：∵m>0，n>0，
∴a＝(m，n)与b＝(1，－1)不可能同向．
∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，]⇔a·b≥0，∴m≥n.
当m＝6时，n＝6,5,4,3,2,1；
当m＝5时，n＝5,4,3,2,1；
当m＝4时，n＝4,3,2,1；
当m＝3时，n＝3,2,1；
当m＝2时，n＝2,1；
当m＝1时，n＝1；
∴概率是＝.

答案：

9．当点M(x，y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)．则实数k的取值范围是________．

解析：如图，延长BC交y轴于点D，目标函数z＝kx＋y中z的几何意义是直线kx＋y－z＝0在y轴上的截距，由题意得当此直线经过点C(1,2)时，z取得最大值，显然此时直线kx＋y－z＝0与y轴的交点应该在点A和点D之间，而kAC＝＝1，kBD＝kBC＝＝－1，直线kx＋y－z＝0的斜率为－k，所以－1≤－k≤1，解得k∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
10．设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________．
解析：若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.
解得|PF1|＝，|PF2|＝.∴＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2.
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2.∴＝2.
综上，＝或2.
答案：或2
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)已知a>0，且a≠1，数列{an}的前n项和为Sn，它满足条件＝1－.数列{bn}中，bn＝an·lgan.
(1)求数列{bn}的前n项和Tn；
(2)若对一切n∈N*，都有bn<bn＋1，求a的取值范围．
分析：(1)本题从＝1－可以得出Sn，进而由an和Sn的关系an＝可求出数列{an}的通项，也就求出了{bn}的通项公式．(2)应注意分a>1和0<a<1讨论．
解：(1)＝1－，∴Sn＝.

当n＝1时，a1＝S1＝＝a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an.
∴an＝an(n∈N*)．此时，bn＝an·lgan＝n·anlga.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝lga(a＋2a2＋3a3＋…＋nan)．
设un＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，∴(1－a)un＝a＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝－nan＋1.
∴un＝－.
∴Tn＝lga[－]．
(2)由bn<bn＋1⇒nanlga<(n＋1)an＋1lga.
①当a>1时，由lga>0，可得a>.
∵<1(n∈N*)，a>1，∴a>对一切n∈N*都成立，此时a的范围为a>1.
②当0<a<1时，由lga<0可得n>(n＋1)a，即a<，即a<min.
∵≥，∴a<时，对一切n∈N*，a<都成立，此时，a的范围为0<a<.
由①②知：对一切n∈N*，都有bn<bn＋1的a的范围是0<a<或a>1.

12．(13分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上两点．已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k；
(3)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
分析：(1)由e＝＝及b＝1可求a.(2)设出AB的直线方程，代入椭圆方程，结合根与系数的关系及条件m·n＝0，解出k值．(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解．
解：(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.
∴a＝2，c＝.椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)由题意，设AB的方程为y＝kx＋，
由整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由已知m·n＝0得：
＋＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝x1x2＋k(x1＋x2)＋

＝＋k·＋＝0.解得k＝±.
(3)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，
y1＝－y2，由m·n＝0得x－＝0⇒y＝4x.
又A(x1，y1)在椭圆上，所以x＋＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·2|y1|＝1，所以三角形面积为定值．
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b，代入＋x2＝1，得：(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝，x1x2＋＝0⇔x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，
∴S＝·|AB|＝|b|＝＝＝1.
所以△ABC的面积为定值．
点评：本题是平面向量与解析几何的交汇题，综合考查了椭圆方程，离心率，定值等知识与方法，当直线位置不确定时，应注意分斜率存在与斜率不存在讨论．