云南中考数学《专项二：解答题》精讲教学案类型② 相似三角形的判定与性质.doc

类型②　相似三角形的判定与性质
,备考攻略)

1．有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)．
2．用相似三角形解决实际问题．
3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明．

1．对应关系判断错误．
2．忽视分类讨论而出错．
3．错记相似三角形的面积比而出错．

1．求证两三角形相似，方法有：(1)对应的两个角相等(经常用到)；(2)三组对应边成比例；(3)两组对应边成比例，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义)．
2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比＝边长比＝周长比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比；面积比＝相似比的平方．
3．做题时灵活运用相关知识．

1．有关相似三角形的计算问题：熟悉并掌握相似三角形的性质，在求解过程中能够找出边或角的对应关系，适当的运用方程、转化、分类等数学思想．
2．用相似三角形解决实际问题：首先将实际问题转化为相似三角形的模型，再判断说明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解．
3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明：熟悉并掌握相似三角形的判定方法，注意总结归纳相似三角形的一些基本模型．
,典题精讲)

【例1】(2017自贡中考)在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为________．
【解析】由MN∥BC，易证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【答案】1

1．(2016乐山中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝__2__．
2．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为__12__．
(第2题图)
　　　(第3题图)

3．(南宁中考)有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于(　D　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．4∶9

【例2】(齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)若∠ABD＝45°，AC＝3时，求BF的长．
【解析】(1)由∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，推出∠DBF＝∠DAC，由此即可证明；(2)先证明AD＝BD，由△ACD∽△BFD，得＝1，即可解决问题．
【答案】解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC，
∴△ACD∽△BFD；
(2)∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴AD＝BD，
∴＝1.
∵△ACD∽△BFD，AC＝3，
∴＝＝1，
∴BF＝3.

4．(2017毕节中考)如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝，求AF的长．

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，
∴∠C＝∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE＝90°.
在Rt△ADE中，sinD＝＝＝，
∴AE＝4.
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
BE＝＝＝4.
∵BC＝AD＝5，
由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
解得：AF＝2.　

1．(湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(　D　)
A．3 B．5
C．6 D．8
2．(随州中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(　B　)
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
(第2题图)
　　　　(第3题图)

3．(毕节中考)在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____.
4．(岳阳中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝90°，
AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12.
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5.
∵△ABM∽△EFA，
∴＝，
即＝，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE－AD＝4.9.

5．(2017安徽中考节选)已知正方形ABCD，点M边AB的中点．如图，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.
求证：(1)BE＝CF;
(2)BE2＝BC·CE.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°.
∴∠ABG＋∠CBF＝90°.
∵∠AGB＝90°，
∴∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF.
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF,
∴BE＝CF；
(2)∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，
∴MG＝MA＝MB,
∴∠GAM＝∠AGM.
又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG,
∴∠CGE＝∠CBG,
又∠ECG＝∠GCB,
∴△CGE∽△CBG,
∴＝，即CG2＝BC·CE,
由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG,
由(1)知BE＝CF,
∴BE＝CG,
∴BE2＝BC·CE.

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