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两圆位置关系学习问答
1．两个圆有几种位置关系？
　　答：在平面上，两圆的位置有：外离，外切，相交，内切、内含共五种位置关系．
　　在平面内，两圆相对运动，可以得到下面不同的位置关系，如下图所示．

　　(1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆外部时，叫做这两个圆外离．
　　(2)两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一公共点叫做切点．
　　(3)两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交．两个公共点都叫做交点．
　　(4)两个圆有唯一公共点，并且除去这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一公共点叫做切点(要分清两圆外切、内切定义的区别)．
　　(5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．
　　(6)两个圆同心是两圆内含的一种特例．
　　 观察上图，可以发现，当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)大小有关．设两圆半径分别为R和R，圆心距为d，那么有：
　　(1)两圆外离d＞R+R；
　　(2)两圆外切d=R+R；
　　(3)两圆相交R-R＜d＜R+R(R≥R)；
　　(4)两圆内切d=R-R(R＞R)；
　　(5)两圆内含d＜R-R(R＞R)．
　　由以上讨论可以知道平面上两圆位置关系的确定有两种方法．第一种方法利用两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义确定．记忆每个定义要结合图形记忆，要根据每种位置关系的特点记忆，要按照两圆的公共点个数记忆．第二种方法根据两圆位置关系，圆心距、半径的数量关系的定理记忆．要把两圆的位置关系的图形和两圆位置关系的定理有机的结合起来，能够看到两圆位置关系的图形就想起相应的两圆位置关系的定理；看到两圆位置关系的定理就想到相应的两圆位置关系的图形．
2．怎样判定两圆相交？
　　答：前面介绍过判定两圆的位置关系有两种方法：其一是根据两圆位置关系的定义判断；其二是根据两圆位置关系和两圆的圆心距、半径的数量关系的定理判定．
　　当两圆有两个公共点时两圆相交．当圆心距d和两圆半径R、R的关系为R-R＜d＜R+R时两圆相交(R＞R)．
　　在两圆的位置关系中，重点研究的是两圆相交和两圆相切．下面就位置关系的定理进行研究和讨论．
　　在确定两圆位置关系的定理中两圆半径的和与两圆半径的差起着重要作用．
　　首先，若两圆半径之和等于圆心距，则两圆外切．反过来，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径的和．
　　其次，若两圆半径之差等于圆心距，则两圆内切．反过来，若两圆内切，则圆心距等于两圆半径的差．
　　再有，若圆心距的取值在两圆半径的差与两圆半径的和之间时，则两圆相交．反过来，若两圆相交时，圆心距的取值应在两圆半径的差与两圆半径的和之间．
　　[例1] 已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为5厘米，圆心距为4厘米，则⊙O1和⊙O2的位置关系为（　　）
　　A．外离　　B．外切　　C．相交　　D．内切
　　分析：先计算：两圆半径的差为R-R=1厘米，两圆半径的和为R+R=11厘米，而圆心距d=4厘米．由R-R＜d＜R+R可知两圆相交．故选(C)
　　[例2] 已知两圆半径之比为3∶2，当两圆外切时圆心距为10厘米，求当两圆内切时的圆心距是多少？
　　分析：当两圆外切时圆心距为10厘米，也就是两圆半径之和为10厘米，又两圆半径之比为3∶2，所以两圆半径分别为6厘米和4厘米，这时两圆半径之差为2厘米，故当两圆内切时的圆心距为2厘米．解答过程略．
　　[例3] 两圆半径分别为R和R(R＞R)，圆心距为d，且满足R2+d2-R2=2Rd，这两个圆的位置关系是（　　）
　　A．外切　　B．相交　　C．内切　　D．外切或内切
　　分析：把关系式R2+d2-R2=2Rd，整理为(R-d+R)(R-d-R)=0，有R-d+R=0或R-d-R=0；所以有d=R+R或d=R-R．
　　故两圆的位置关系是外切或内切．应选(D)
　　总之在研究两圆位置关系时，两圆半径的差与两圆半径之和这两个数据起着非常重要的作用．为了形像化地记忆，现推荐一种方法．

　　可叫做两圆位置关系的数轴记法．只要知道圆心距、两圆半径差、两圆半径和这三个数据就可在上面迅速查出两圆的位置关系．
3．相交两圆的连心线和公共弦有什么关系？
　　答：由相交两圆的定理可知，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
　　首先要分清容易混淆的两个概念：
　　连心线：经过两个圆心的直线叫做连心线．
　　圆心距：两圆心之间的距离叫做圆心距．
　　连心线是直线；圆心距是两圆心间线段的长度．
　　理解定理“相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦”时，应明确以下三点：
　　(1)连心线包含两圆的直径，(如图1)，所以此连心线应为两相交圆的公共对称轴．
　　(2)A是⊙O1和⊙O2上公共点，所以它关于连心线的对称
点必然是既在⊙O1上，又在⊙O2上，即两圆的交点B．
　　(3)对称轴的性质是垂直平分连结两对称点的线段．
　　解有关相交两圆的题目时，常常要作出连心线、公共弦或连结交点与圆心，从而把两圆的半径、公共弦长的一半、圆心距等集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决．
　　[例1] 图2中，两等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B，连心线O1O2交⊙O1于D，交⊙O2于C．求证：四边形ABCD是菱形．
　　证明：连结AB．
　　∵⊙O1和⊙O2是等圆，又O1O2垂直平分AB，

　　∴AC=BC=BD=AD．
　　故四边形ABCD是菱形．
　　本题利用相交两圆连心线的性质、垂径定理及同圆或等圆中等弦对等弧、等弧对等弦的一些定理．
　　[例2] 图3中，⊙O1和⊙O2相交于A、B，若⊙O1和⊙O2的半径分别为5厘米，4厘米，公共弦长AB=6厘米．求两圆的圆心距．
　　解：连结O1A、O2A，设O1O2与AB相交于C．
　　因为O1O2垂直平分AB，

　　利用两圆相交，连心线的性质把圆心距分成两条线段，这两条线段是两个直角三角形的边，利用解直角三角形求得．
　　以上两例说明怎样利用“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”解决计算题或证明题．希望大家能总结这一类题的解题规律．
4．两圆相交或相切怎样添辅助线？
　　答：进入两圆位置关系学习，由于客观条件的增加，使得有些题目趋于复杂，添加辅助线有助于解决这样的问题．在何种情况下添？又怎样添？需要我们在学习及练习中及时归纳总结，现在常见辅助线的作法是：有关两圆相交的问题，常添公共弦或连心线为辅助线；有关两圆相切的问题，常常添连心线或过切点的公切线为辅助线．
　　[例1]已知：图4中，⊙O1和⊙O2相交于A、B，P在⊙O1上，过交点A、B作两圆的割线PAC和PBD．求证：PO1与CD垂直．
　　证明：设PO1延长线和⊙O1相交于E和CD相交于F，连结AE、AB．
　　∵PE是⊙O1的直径，
　　∴∠PAE=90°，即∠l+∠2=90°．

　　∴∠1=∠3．
　　∵四边形ABDC内接于⊙O2，　　　　　　　　　　　　　图4
　　∴∠2=∠D．
　　∵∠3+∠D=90°，
　　∴∠PFD=90°．
　　∴PO1与CD垂直．
　　本例启示我们：两圆相交常作公共弦．
5．怎样确定两圆的内公切线和外公切线？
　　答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．
　　和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图5(1)．两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5
　　根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．
　　由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．
　　(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；
　　(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；
　　(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；
　　(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；
　　(5)当两圆内含时，没有公切线．
　　 反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．
　　介绍两圆相外离时公切线的作法如下．
　　作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．
　　如图6所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．

　　　　　　　　　　　　　　图6
　　当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．
6．怎样求两圆公切线的长？
　　答：两圆公切线的长与圆心距和两圆的半径有关．先熟悉两圆公切线长的定义，再分别就两圆的公切线长和外公切线长加以讨论．
　　公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．这与具有直线性质的公切线是不相同的两个概念．
　　先看怎样求两圆外公切线的长．
　　[例1] 已知；图7中，⊙O1、⊙O2的半径分别为15厘米和8厘米，圆心距为25厘米，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线．切点分别是A、B．求公切线AB的长．
　　分析：因为切线垂直于过切点的半径，求公切线的长AB，首先应连结O1A、O2B，作O2C⊥O1A于C，这样问题就转化为一个矩形和一个直角三角形的问题．
　　解：连结O1A、O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB．过O2作O2C⊥O1A，垂足为C，则四边形ABO2C为矩形，于是有CO2=AB，O2B=CA，O2C⊥O1C．
　　在直角ΔO1O2C中，O1O2=25，O1C=O1A-O2B=7．

　　即AB=24厘米．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图7
　　由圆的对称性可知，图1中有两条外公切线，并且这两条外公切线的长相等．

　　[例2] 图8中，已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5厘米和3厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的内公切线，切点分别为A、B．求公切线的长AB．
　　分析：仿上例作辅助线，把问题转化为解直角三角形和矩形的问题．
　　解：连结O1A，O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB．作O1C⊥O2B交O2B的延长线于C，则AB=O1C，BC=O1A．
　　在直角ΔO1O2C中，O1O2=10，O2C=O2B+O1A=8．
　　。　　即AB=6厘米
由圆的对称性可知，图2中有两条内公切线，　　　　　　　　　　　　　图8
并且这两条内公切线的长相等．

可仿照“两圆相切时，切点在连心线上”那样得出：如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交．那么交点一定在两圆的连心线上．由此可知．连心线平分这两条公切线的夹角．