《图形的相似》专题专练.doc

第四章《图形的相似》专题专练
专题一：线段的比
一、专题概述
1．结合现实情境了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其简单应用；
2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称为比例线段．如有四条线段a、b、c、d，若a：b=c：d或，则a、b、c、d叫比例线段．
二、典例分析
例1．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ）．
A．320 cm B．320ｍ　　　C．2000cm　　D．2000ｍ
分析：根据关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，计算实际距离，同时要注意单位换算．
解：设实际距离为ｘcm，则，ｘ＝200000cm＝2000ｍ，所以应选（D）．
专练一：
1、在比例尺为1∶500000的平面地图上，A、B两地的距离是6㎝，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A、60km B、1.2km C、30km D、20km
2、如图，线段AB∶BC = 1∶2，那么AC∶BC等于（ ）

A、1∶3 B、2∶3 C、3∶1 D、3∶2
3、已知xy = mn，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）
A、= B、= C、= D、=
4、若3x－4y = 0，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么
d= ㎝．
6、已知三个数1，2，，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）.
7、同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1.5米的同学的影长为1米，求旗杆的高度是多少？

8、已知==，求（1） （2） 的值．

专题二：黄金分割
一、专题概述
1．经历对黄金分割的探索过程，体会其中的文化价值，体验用所学知识解决实际问题
2．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比．
二、典例剖析
图2
例2．如图2，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点．

分析：本题可先判别AD＝BD＝BC＝，再根据黄金分割的概念确定这个特征的比值，即可判定点D是线段AC的黄金分割点．
解：在△ABC中，因为，所以．
因为BD平分∠ABC，所以，所以∠1＝∠A，所以AD＝BD．
所以∠BDC＝∠1＋∠A＝，所以∠BDC＝∠C，从而有BC＝BD＝AD＝．
所以，即点D为线段AC的黄金分割点
专练二：
1、若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=（　 ）
A、 B、 C、 D、或
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则下列等式中成立的是（ 　）
A．AB2=AC·CB；B．CB2=AC·AB；C．AC2=CB·AB；D．AC2=2BC·AB
3、把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（　 ）
图3
A．　B． C．　　D．
4、点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
那么的值是 ．
5、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处？，如果他向B点再走 m，
也处在比较得体的位置？（结果精确到0.1m）
6、已知线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长.
7、已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN = ，求证：点A是MN的黄金分割点．

8、(1)已知线段AB=a，在线段AB上有一点C，若AC=，则点C是线段AB的黄金分割点吗？为什么？
(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形．请你设法作出一个黄金矩形.

专题三：相似图形
一、专题概述
1．了解相似图形的含义，会判断两多边形是否为相似多边形
2．相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形的对应边的比叫相似比．
二、典例剖析
例3．我们已经学过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现在给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；
④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
解：①④一定是相似图形，原因是它们的对应元素成比例．
②③不一定是相似图形，原因是②的对应角不一定相等，③的对应边不一定成比例，例如：长方形ABCD的长AB=5cm，宽BC=2cm，长方形ABCD的长AB=10cm，宽BC=6cm，长方形ABCD与长方形ABCD的边不成比例，两者不相似．
专练三：
1、下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形； B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形； D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
2、下列结论不正确的是( )
A.所有的矩形都相似； B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似； D.所有的正八边形都相似
3、五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( )
A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2 D.2∶5
4、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
5、两个相似多边形的相似比是，则这两个多边形的对应对角线的比是___.
6、在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶，则BD∶A′C′=________.
7、下列各组图形中相似的是（ ）
图4

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④
8、（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有__ _.
9、如图，图5（1）是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的数，得图5（2），将图5（1）中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图5（3），那么图4（1）与图5（2）相似吗？图5（1）与图5（3）相似吗？图5（2）与图5（3）呢？为什么？
图5

10、如图6，如果梯形ABCD的各边向外平移2个单位得到新的梯形A`B`C`D`，
图6
试问图中的两个梯形能相似吗？请说明理由．

11、如图7，在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD相似？请说明理由．
图7

12、如图8，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
图8

专题四：相似三角形
一、专题概述
1．通过一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识，初步认识特殊与一般之间的辨证关系
2．掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题
3．相似三角形的性质
对于两个相似三角形来说，它们具有如下常用性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
②相似三角形周长比等于相似比．
③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．相似三角形的判定方法：
两边对应成比例，
夹角对应相等
两角对应相等
三条边对应成比例
一条直角边、
斜边对应成比例
判定一

判定二
判定三
直角三角形的判定

二、典例剖析
例4．如图9，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似
C
A
B
D
M
N
E
解析：由于△AED和△MCN都是直角三角形，△AED的三边，
AD=2，AE=1，斜边DE=；△MCN的斜边MN=1，而
当两个直角三角形斜边与直角边对应成比例时，这两个直角三角形相似，
图9
根据或，即或，
得或，故当或时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．
点评：分类讨论题虽然也具有开放性，但它比以上开放题要求高，分类讨论必须考虑全面、周密，做到不重不漏，本题必须分两种情况所得的值都填上才正确．
专练四：
1、在△ABC中AB＝12cm，AC＝8cm，点D，E分别在AB，AC上，如果△ADE于△ABC能够相似，且AD＝4cm时，试求AE的长．

2、ABC∽△DEF若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm时△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由．

3、如图10，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
图10

4、某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

专题五：图形的位似
一、专题概述
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；能利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小
B
A
O
C
D
图11
2．掌握位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
二、典例剖析
例5．在小孔成像问题中，根据如图11所示，若O到
AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，，则像CD
的长是物AB长的（ ）．
（A）3倍（B）倍（C）倍（D）不知AB的长度，无法判断．
分析：由图形知，△OAB和△OCD是位似图形，由位似图形的性质知AB和CD位似比是，所以像CD是物AB长的倍．
解：选（C）．
点评：小孔成像是光的直线传播现象中的应该典型现象，现在我们用一个蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像，如图11所示．小孔O是位似中心，两条光线AC和BD形成了两个相似三角形△OAB和△OCD．总之，在生活活中这样的例子还有很多，如利用光的反射原理、制作视力表等问题，都要用到位似图形的有关性质来解决．
专练五：
图12
1、如图12，点O是等边三角形PQR的中心，P1、Q1、R1分别是OP、OQ、OR的中点，则是位似三角形，此时的位似比、位似中心分别是（ ）

2、课本上有这样一题：已知，如图13（1），O点在△ABC内部，连AO、BO、CO，A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、BC∥B’C’．
求证：△OAC∽△OA’C’．若将这题图中的O点移至△ABC外，如图（2），其它条件不变，题中要求证的结论成立吗？
（1）在图（2）基础上画出相应的图形，观察并回答： （填成立或不成立）．
（2）证明你（1）中观察到的结论．
图13

3、如图14，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
图14
(1)画出位似中心点0；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，
使它与△ABC的位似比等于1.5．

4、如图15，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2，1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍
图15
(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，
写出M的对应点M′的坐标．

专题六：相似三角形的应用
一、专题概述
相似图形是一种图形的变换，在历年中考中都占有一定比例，在近几年中考试题中，有关相似图形的考查范围更加广泛，既注重基础知识的考查，又注重应用能力和抄写能力的考查
二、典例剖析
图16
例6．阅读下面的短文，并回答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图16，甲、乙两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比，设分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方体的体积，则．
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）．
（A）两个球体；（B）两个圆锥体；（C）两个圆柱体；（D）两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？
（不考虑不同时期人体平均密度的变化）．
分析：这里要用到“立体相似”的知识，两个相似的立体还没有学过，但从阅读材料中可以知道：相似形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，那么体积比是否等于相似比的立方呢？事实如此，若相似比是m：n ，则体积比是．
略解：（1）应选（A）；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
（3）设他的体重为x千克，则，解得：x=60.75（千克）．
专练六：
1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边为20cm，那么符合条件的三角形共有（　　　）．
（A）1种　（B）2种　　（C）3种　　（D）4种．
2．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；
图17
相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比
等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若____________，
则两个扇形相似；
图18
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为_________；
（3）如图17是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB
和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和
它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图18），
求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．

参考答案
考点一：
1、C；2、D；3、C；4、C；5、1.2；
6、2或或（填写一个即可）；
7、12米；8、（1）3；（2）

考点二：
1、D；2、C；3、B；
4、； 5、12.6，7.4； 6、；
7、因为AN = ，所以AM=1-=，所以点A是MN的黄金分割点．
8、作图略

考点三：
1、C ；2、A；3、B ；4、C；5、；6、1∶3；7、B；8、①④⑤；
9、图（1）与图（2）不相似，图（1）与图（3）不相似，图（2与图（3）也不相似.理由略
10、B`B，C`C，D`D延长线能相交于一点时，所得到的两个梯形能相似，否则它们不能相似．
11、由题意应有，从而有解得．
12、解：①两个圆相似
②这两个圆的半径分别为50米，60米
所以它们的半径之比为5∶6，周长之比为（2π×50）∶（2π×60）即为5∶6，所以这两个圆的半径之比等于周长之比.

考点四：
1、或者6．
2、当△DEF中4cm线段与△ABC中5cm线段是对应边时，设另两边长为x cm，y cm．故有，从而当△DEF中4cm线段与△ABC中6cm线段是对应边时，有故当△DEF中4cm线段与△ABC中7cm线段是对应边时，有此时综上所述△DEF的另外两边长应是三种可能．
3、解：设这个正方形材料的边长为x cm
则△PAN的边PN上的高为（8－x） cm
∵由已知得：△APN∽△ABC
∴=，即=解得：x=4.8
答：这个正方形材料的边长为4.8 cm.
4、解：设这块矩形绿地的面积为S，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S1、S2则=（）2，=（）2，∴S1=，S2=，∴S1∶S2=∶=∶=25∶4，
即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4

考点五：
1、D；2、（1）成立；（2）略；
3、解：（1）根据两个位似图形，对称点的连线必过位似中心的性质，只要分别连结AA/、BB/，它们的交点就是位似中心O；
（2）根据位似比就是相似比，只要计算出AB和A/B/的长度，再求它们的比值即可，位似比为 1:2 ．
（3）本小题是网格操作画图问题，在位似中心O固定后，
只要按照题目要求画图即可．
4、(1)画图略 (2) B′(-6，2)，C′(-4，-2) (3 M′(-2x．-2y)
专练六：
1．（C）；
2．解：（1）仿照相似三角形的判定，不难写出判定扇形相似的
方法有：（答案不唯一），例如：
①若两个扇形的圆心角相等，则这两个扇形相似；
②若两个扇形的半径和弧长对应成比例则这两个扇形相似；．
（2）根据题中给出相似扇形的性质，可列出，解之得ｌ＝2ｍ．
（3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°．
设新扇形的半径为r，则．即新扇形的半径为cm．