解一元二次方程直接开平方法.docx

21.2 解一元二次方程-直接开平方法
广西来宾市忻城县思练中学：黄岸丽
一．教材分析
本节是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册23.2.1内容，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
二．教学目标
　（一）知识与技能：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
　（三）情感与态度：通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
三．教法与学法
采用创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学。遵循因材施教，循序渐进原则，采用探究启发教学模式直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。
四．教学重点与难点
重点：运用开平方法解形如（a x+ b）2=c（c≥0）的方程．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2=a的方程，知识迁移到形如（x+a）2=b（b≥0）的方程．

关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

五．教学过程
（一）复习导入
1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．
记作x= ，即x= 或x= ．
2.一元二次方程的一般形式是什么？x2=25是一元二次方程吗？你会解吗？这节课我们来学习一元二次方程的第一种解法。引出课题：21.2.1用直接开平方法解一元二次方程。

（二）新授
1. 解一元二次方程
（1）x2=25
解 ∵ x2=25
根据平方根的定义可知： x是25的平方根
∴ x= ±5
即x1=5， x2=-5

定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：解下列一元二次方程：
（1）x2-12=0(2)4m2-16=0(3)x2+1=1(4)x2+3=0
方法与概括：
一般地，对于方程
x2= P （I)
(1)当P ＞0时，根据平方根的意义，方程（I）有两个不等的实数根 x1= ,x2= ;
(2)当P=0时，方程（I）有两个相等的根 x1=x2 ；
(3)当P <0时，因为对任意实数 x ，都有 ，
所以方程（I）无实根.

2.想一想：对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程 ？
（1）

解：直接开平方得 ： ，
即 ，或
于是该方程的两个根
，

法则： (1)运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（2）要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（3）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解，也就是通过开方实现降次转化

（三）练习巩固

1．(a-8)2=25 2.(a-8)2-49=0
3.2(x+1)2-16=0

判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解，并说明理由
（1）x2=2（2）y2-49=0（3）6x2=3（4）(3x+5)2+16=0（5）121-(m+3)2=0（6）x2-8x=16=0选择上题中至少两个方程求解，在小组中互批交流。
（四）小结
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.实质： 降次
一元二次方程 一元一次方程
3.用直接开平方法可解形如 均为常数）的一元二次方程，其中当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

（五）作业
P7 页 练习（1）-（6）

设计意图：复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．

设计意图：由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程。

设计意图：对可能出现的结果做出简单分类，让学生明白一元二次方程根的情况，也是为下节课的配方法做知识储备。

设计意图：鼓励学生通过知识迁移和类比的方法独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可。

设计意图：引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．

设计意图：检查学生对基础知识的掌握情况。

设计意图：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
六．板书设计
解一元二次方程（1）——直接开平方法

1.平方根

2.解一元二次方程 （1） （2）

3.直接开平方法

4.练习答案

5 .降次