解一元二次方程直接开平方法.docx

21.2 解一元二次方程-直接开平方法
广西来宾市忻城县思练中学：黄岸丽
一．教材分析
本节是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册23.2.1内容，一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
二．教学目标
　（一）知识与技能：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
　（三）情感与态度：通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
三．教法与学法
采用创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学。遵循因材施教，循序渐进原则，采用探究启发教学模式直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。
四．教学重点与难点
重点：运用开平方法解形如（a x+ b）2=c（c≥0）的方程．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2=a的方程，知识迁移到形如（x+a）2=b（b≥0）的方程．

关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

五．教学过程
（一）复习导入
1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．
记作x= ，即x= 或x= ．
2.一元二次方程的一般形式是什么？x2=25是一元二次方程吗？你会解吗？这节课我们来学习一元二次方程的第一种解法。引出课题：21.2.1用直接开平方法解一元二次方程。

（二）新授
1. 解一元二次方程
（1）x2=25
解 ∵ x2=25
根据平方根的定义可知： x是25的平方根
∴ x= ±5
即x1=5， x2=-5

定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：解下列一元二次方程：
（1）x2-12=0(2)4m2-16=0(3)x2+1=14)x2+3=0
方法与概括：
一般地，对于方程
x2= P （I)
(1)当P ＞0时，根据平方根的意义，方程（I）有两个不等的实数根 x1= ,x2= ;
(2)当P=0时，方程（I）有两个相等的根 x1=x2 ；
(3)当P <0时，因为对任意实数 x ，都有 ，
所以方程（I）无实根.

2.想一想：对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程 ？
（1）

解：直接开平方得 ： ，
即 ，或
于是该方程的两个根
，

法则： (1)运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（2）要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（3）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解，也就是通过开方实现降次转化

（三）练习巩固

1．(a-8)2=25 2.(a-8)2-49=0
3.2(x+1)2-16=0

判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解，并说明理由
（1）x2=2（2）y2-49=0（3）6x2=3（4）(3x+5)2+16=0（5）121-(m+3)2=0（6）x2-8x=16=0选择上题中至少两个方程求解，在小组中互批交流。
（四）小结
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.实质： 降次
一元二次方程 一元一次方程
3.用直接开平方法可解形如 均为常数）的一元二次方程，其中当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

（五）作业
P7 页 练习（1）-（6）

设计意图：复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．

设计意图：由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程。

设计意图：对可能出现的结果做出简单分类，让学生明白一元二次方程根的情况，也是为下节课的配方法做知识储备。

设计意图：鼓励学生通过知识迁移和类比的方法独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可。

设计意图：引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．

设计意图：检查学生对基础知识的掌握情况。

设计意图：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
六．板书设计
解一元二次方程（1）——直接开平方法

1.平方根

2.解一元二次方程 （1） （2）

3.直接开平方法

4.练习答案

5 .降次