初中数学建模：一次函数的应用.doc

课题：《初中数学建模：一次函数的应用》
学校： 厦门集美中学 姓名： 黄燕 班级：初二（7）班 时间：2017年5月4日
一、教学目标
1.知识技能：理解一次函数本质，会构造一次函数模型；探究数学建模的基本规律，体会一次函数建模的方法；结合对一次函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能解决简单的实际问题.
2.数学能力：经历一次函数“数-形-数-式”函数建模的过程，发展学生数学学习核心素养；利用待定系数法、图象法，发展学生的数学分析能力，在实际问题中培养学生的应用意识和读图能力，发展学生的创新能力.
3.数学思想：在探究一次函数建模的过程中，感悟数学模型思想、数形结合等思想，体会数学知识、各学科、生活三者的联系，运用数学的思维方式进行思考，了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯.
二、 教学重难点
重点：会构造一次函数模型，并利用函数模型解决实际问题.
难点：从实际问题中抽象出一次函数模型.
三、 学情分析
八年级下学期学生的认知水平还处在具体运算和形式运算的过渡发展阶段，学习一次函数，意味着学生由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃.利用一次函数解决简单实际问题对于学生而言并不太难，难点在于对一次函数知识理解深度不够，对解析式与图象的内在联系运用较薄弱.通过实际问题抽象出函数模型是学生第一次接触到的内容，对于他们而言既新鲜又陌生.为此，本节课从学生感兴趣的问题情境入手，带领学生感知一次函数，从数和形的角度引导学生自主探究，并在合作交流的基础上创造性学习．
四、教学过程
（一）新知学习
情景1.已知两个变量x和y，它们之间的对应值如下表所示.

...
-2
-1
0
1
2
...

...
0
1
2
3
m
...

从中你发现了什么：
（1） m的值是 .
（2） y 与x之间的函数关系式可能是 .
A．y＝x B．y＝x＋2 C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
（3）尝试在直角坐标系中画出y 与x的函数图象，并说说这个函数图象有什么特征？
【师生活动】（1）回忆函数的三种表示方法：解析式法，列表法和图象法，引导学生说出画函数图象的方法——描点法和基本步骤——列表，描点，连线.（2）观察图象，发现此函数的图象为直线，辨析、深化一次函数“形”到“数”的联系.(3)回忆利用“待定系数法”确定一次函数图象的解析式的步骤.
【设计意图】引导学生回顾画函数图象的一般方法和各个步骤，进一步从“运动变化和联系对应”的角度认识函数，发现变量之间存在对应关系，初步体会一次函数模型的建立过程,渗透函数模型建立的方法.
（二）自主探究
活动1 世界人口统计
1960年至2010年世界人口数近似地由下表给出：
年份
...
1960
1974
1987
1999
2010
...
人口数/亿
...
30
40
50
60
69
...

【师生活动】教师分析题意，学生自主探究.
问题1 根据表中的数据，你能预测2020年世界人口数吗？
追问1: 这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
追问2：观察描出的点的分布情况，猜测两个变量x,y之间是何种函数关系？
问题2选择一个近似于人口增长曲线的 函数，并写出它的解析式.
追问1：回忆一次函数的图象及其性质，说说一次函数图象的特点吗？
追问2：如何建立一次函数模型，应该选取几个点？
追问3：既然建立一次函数模型只需要选取两个点，如何选点？
（教师借助几何画板展示，生动地再现学生选点的过程，让学生体会建立函数模型的意义.进一步引发学生思考，如何选点可以使得所建立的函数模型更贴近生活实际.）

问题3按照这样的增长趋势，请你利用所建立的函数模型估计2020年的世界人口数.
【设计意图】独立思考，初步形成一次函数建模的步骤，将新旧知识相联系，更新知识结构.着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，为后续合作探究预热.
（三）合作提升
活动2 为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．两组同学分别做了水龙头漏水实验.
【师生活动】学生代表展示实验成功，分组合作探究，学生为主体，教师为引导者.
实验一：A组同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据填写下表（漏出的水量精确到1毫升）：
时间 （秒）
10
20
30
40
50
60
70
漏出的水量（毫升）
2
5
8
11
14
17
20

　 问题1 在图1坐标系中描出上表中数据对应的点.
问题2 如果A组同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满面溢出（精确到1秒）？
问题3 按此漏水速度，一小时会漏水_________（精确到0.1千克）
实验二：B组同学根据自己的实验数据画出的图象，你能得到哪些有用信息，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？

【师生活动】学生展示实验成功，分组合作探究.
（1）学生分组合作，结合活动1的探究思路，尝试给出研究水龙头滴水问题的研究方法：“获取数据” “列表” “描点” “作图” “建模”.
（2）教师设置问题串，引导学生探究方案应从测量工具（有带刻度的量杯，量筒），时间（秒、分钟或是小时作为测量的单位时间），存在问题（量杯有固定的容量，测量的漏水量受容器影响）等角度考虑.
（3）学生整理实验数据，作图，观察图象性质，建立数学模型，为水龙头漏水问题提供数据支持，引发节约用水，从点点滴滴做起的思考.深化数学模型来源于生活，又服务于生活，让学生意识到学好数学的重要性.
【设计意图】通过合作探究，学生置身于生活情境中，发挥主人翁的意识，积极探索，合作交流，在实践中，经历思维火花的碰撞，自然而然地收获函数建模的方法，体会一次函数建模的重要性.既调动学生学习的积极性，在愉快的氛围中，又经历获取实验数据“数”，描绘图象“形”，到构造一次函数解析式“式”，再到一次函数图象“形”的过程.在合作交流中，培养学生的应用意识和创新能力，发展学生的数学核心素养.
（四）引导发展
问题1 利用一次函数模型解决实际问题的一般步骤？
（1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出；
（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并求出具体的函数表达式；
（3）进行检验；
（4）应用函数模型解决问题.
问题2 如何确定实际问题应该选择哪种函数模型，以一次函数模型为例？
1. 作图：观察图象，若图象的特征是直线型：如直线、射线、线段，则可判定函数的类型为一次函数.
2. 分析数据：若因变量是随自变量均匀变化的，函数的类型也是一次函数.
3. 取点：选取最靠近直线的整点，利用待定系数法，求出k，b.
追问：如果仅提供两组有序数对，能否确定函数模型？（建立函数模型基本上都要借助图象，如果只有两组数据，很难确定图象的趋势.有代表性的有序数对越多，建立起来的函数模型越贴近实际问题.）
【设计意图】 回顾一次函数数学建模的过程，通过追问引导学生思考建模的常用步骤，形成认识，加深理解.为今后借助一次函数解决实际问题提供可行的方法指导，也会后期抽象数学模型解决实际问题提供一种思路.
（五）成效评价
1.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
（1）求出h与d之间的函数关系式
（2）某人身高为196cm，一般情况下，他的指距是多少？
2. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度.于是，他测量了一套课桌、凳子相应的四档高度，得到如下数据：
高 度

档次
第一档
第二档
第三档
第四档
凳高x/cm
37.0
40.0
42.0
45.0
桌高y/cm
70.0
74.8
78.0
82.8

（1）求出桌高y是凳高x的函数关系式.
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77.0cm,凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由.
【设计意图】通过观察表格发现规律，观察图象发现特征，强化观察能力，形成数学建模意识，培养创新意识.
3.问题:本节课我们研究了什么？是怎样研究的？得到了哪些成果？在研究过程中，你觉得收获最大的是什么？
【设计意图】不仅从数学知识技能方面，还要从数学方法和数学思想上总结收获，教师再概括引导提升对一次函数建模的认识，了解研究一种函数模型的一般方法.
（六）课后反馈
课后思考：请你选择一个可以应用函数模型解决的问题（如:①乒乓球反弹高度实验、②温度计的摄氏温度与华氏温度等），并建立合适的函数模型.
【设计意图】课后反馈，对本节课所学知识，方法进行巩固与提升．让学生认识数学的应用价值，形成积极的应用意识，进而形成对社会发展的关注意识和参与意识.
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