二下第一次月考.doc

东风中学2015-2016学年度下学期第一次月考高二数学试题
命题人：柯慧珍
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．命题“, ”的否定是(　　)
A．不存在, B．,
C．, D．,
2. 椭圆的左焦点为，则（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
3.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
5．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”
B．若椭圆＝1的两焦点为F1、F2，且弦AB过F1点，则△ABF2的周长为20．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则p：∃x∈R，x2＋x－1≥0
6. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
7.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线的焦点距离为3，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
x
y
A
B
C
O
9. 已知椭圆的焦点分别为，P是椭圆上一点，若连接，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是（ ）
A. 3 B. C.或 D.
10.如图，点A为椭圆E：的右顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 在区间和上分别任取一个数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
. . .
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________.
14. 过点A（-1，-2）且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
15．短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为_____________.
16、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线与两点，且满足,则该双曲线的离心率为 .

三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17（本小题满分10分）（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．(本小题满分12分)
命题：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题：函数y＝(2a2－a)x为增函数．如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．

19. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0），过点P（-2,1）斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长。
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，
点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．

22（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．
22. (本小题满分12分)
已知椭圆C：的右焦点，过的直线交椭圆C于A，B两点，且是线段AB的中点。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积。

21、（本题满分12分）点，，动点到点的距离是4，线段的中垂线交于点．
（1）当点变化时，求动点的轨迹的方程；
（2）若斜率为的动直线与轨迹相交于、两点，
为定点，求面积的最大值．

22、（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为．[来源:学*科*网]
（1）求椭圆的方程；
（2）已知,是椭圆上两个不同点，且⊥，判定原点到直线的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）
17．【解答】：命题p为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
命题q为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.
有已知可得，p,q中有且只有一个是真命题，有两种情况：
p真q假时，＜a≤1，p假q真时，－1≤a＜－，
∴a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．
21.【解答】（1）∵椭圆C的
（2）由已知得直线 , 由 ,
，

∴
（2）由（1）可得直线AB：，椭圆方程为
由 ， 得 ，
又|F1F2|=2c=6
所以

21、（1），（2）
22、（1）；（2）存在点或．

22.【解答】（1）
21.（1）椭圆C的方程为
（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不合题意．
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，显然＞0成立，设A，B，则
，，可得|AB|=
又圆的半径r=，∴AB的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为
22.解:联立方程消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－,
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则 (*)
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，即P(，yP)，∴Q(，).
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，
则·＝0，即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，
结合(*)化简得－－＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞).∴m＝2
21、（1）如图，连接，由，∴，
又∵，∴，
由椭圆的定义可知动点的轨迹的方程为．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
设直线的方程为，代入椭圆方程，得，
即
由，得．又点不在直线上，则．．
设点，，则．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
所以．
可得，点到直线的距离，
则．
因为，则，当且仅当即时取等号．
故面积的最大值为．
22、（1）由题知离心率为，即，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线距离，∴，解得,∴椭圆的方程为 4分
（2）设，，当直线与轴垂直时，设，则,
∵,∴,解得，∴原点到直线的距离为． 6分．
当直线斜率存在时，设直线AB：与联立得，
，
韦达定理得， ……8分
，
即且满足△＞0， 10分
∴原点到直线的距离为，
故原点到直线的距离为定值，定值为． 12分
（2）设命题p：函数的定义域为R, 命题q：双曲线的离心率,如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．16．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．