数学实验--Mathematic实验十四-矩阵的特征值与特征向量.doc

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量
所属课程名称 数学实验
实 验 类 型 线性代数
实 验 日 期 2011.12.14

班 级
学 号
姓 名
成 绩

一、实验概述：
【实验目的】
学习掌握利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.
【实验原理】
(1)命令Eigenvalues[M]给出方阵M的特征值.
(2)命令Eigenvectors[M]给出方阵M的特征向量.但有时输出中含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量.
(3)命令Eigensystem[M]给出方阵M的特征值和特征向量.同样有时输出的向量中含有零向量.
(4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是
<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m
现在对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt就可以使用了.命令GramSchmidt[A]给出与矩阵A的行向量组等价的且已正交化的单位向量组.
【实验环境】
Mathematic 4
二、实验内容：
【实验方案】
1.求方阵的特征值与特征向量;
2.矩阵的相似变换;
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1.求方阵的特征值与特征向量
用命令Eigenvalues[M]立即求得方阵M的特征值命令Eigenvectors[M]立即求得方阵M的特征向量命令Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.
例14.1 求方阵的特征值和特征向量.
Clear[M];
M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};
Eigenvalues[M]
Eigenvectors[M]
Eigensystem[M]
例14.2 求方阵的特征值和特征向量.(*Example14.2*)
　　　G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；
　Eigensystem[G]
例14.3 已知2是方阵的特征值，求t.(*Example14.3*)
Clear[Aq]；
　　　A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；
　　　q=Det[A]；
　Solve[qŠ0，t]
　　例14.4　已知是方阵A=的一个特征向量，求参数a，b及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)
　　设特征值为t，输入
　　　Clear[A，B，v，a，b，t]；
　　　A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；
　　　v={1，1，-1}；
　　　B=A.v；
　Solve[{B[[1]]Š0，B[[2]]Š0，B[[3]]Š0}，{a，b，t}]
2.矩阵的相似变换
若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵P，使为对角阵.命令EigenVectors[A]与Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m的命令.
　　例14.5　设方阵A=，求一可逆阵P，使P-1AP为对角阵.
　　　Clear[A，p]；
　　　A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；
　　　Eigenvalues[A]；
　　　p=Eigenvectors[A]//Transpose
为了验证P-1AP为对角阵，输入
　　　Inverse[p].A.p
　　解法二　直接用JardanDecomposition[A]
　　　jor=JordanDecomposition[A]
　　　jor[[1]]
　　　jor[[2]]
例14.6　方阵A是否与对角阵相似?
　　　Clear[A]；
　　　A={{1，0}，{2，1}}；
　　　Eigensystem[A]
　　例14.7　已知方阵与相似，求ｘ，ｙ.
　　　Clear[x，v]；
　　　v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；
　　　Solve[Det[v]Š0，x]
　　例14.8对实对称矩阵，求一个正交阵P，使 P-1AP为对角阵.
　　　<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m
　　　Clear[a，p]；
　　　A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；
　　　Eigenvalues[A]
　　　Eigenvectors[A]
　　　p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose
例14.9 求一个正交变换，化二次型
为标准型
二次型的矩阵为

f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify
f/.Table[x[j]®(p.Table[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]//Simplify
【实验结论】（结果）
根据程序的编辑,实验很成功。
【实验小结】（收获体会）
用Mathematic 4 做求矩阵问题很方便.
三、指导教师评语及成绩：
评 语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成 绩：

指导教师签名：
批阅日期：

附录1：源 程 序
试验十四 矩阵的特征值与特征向量

附录2：实验报告填写说明
1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2.实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3.实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4.实验环境：实验用的软、硬件环境。
5.实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6.实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7.实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8.实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9.指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
11