正弦函数的图像与性质.doc

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
教案设计
一、 教案背景
1、面向学生：√职高 □中学 □小学
2、学科：数学
3、课时：1
4、学生课前准备：
①预习如何用“描点法”作函数的图像。
②查询百度网站收集的关于周期现象的资料。
二、 教学目标
知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数简图的方法；
能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数为载体，理解周期函数；
(2) 会用“五点法”作出正弦函数的简图；了解正弦函数图像的几何作法；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力。
教学重点：
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y=sinx在上的简图。
教学难点：
周期性的理解．
教学方法：讲授法、练习法、讨论法相结合
三、 教材分析
1、教材分析：
三角函数这一章学习是在学生完成基础模块（上册）函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习．研究的方法主要是代数变形和图象分析。
《正弦函数的图象与性质》这节课是在已有函数基础知识和三角函数知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质的知识基础和方法准备．因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
2、学情分析：
学生在初中已接触一次函数，二次函数的画法，上学期又学习了指数函数，对数函数等初等函数，因此对于画函数的步骤不会陌生。
3、教学设计
（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；
（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；
（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；
（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；
四、 教学过程
揭示课题
5.6正弦函数的图像和性质
（一）【创设情景 兴趣导入】
问题
观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？

解决
每间隔12小时，当前时间2点重复出现。
推广
类似这样的周期现象还有哪些？

（二）【动脑思考 探索新知】
概念
对于函数，如果存在一个不为零的常数，当取定义域内的每一个值时,都有,并且等式成立，那么，函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的一个周期．
由于正弦函数的定义域是实数集R，对，恒有，并且，因此正弦函数是周期函数，并且 ，， ，及，，都是它的周期．
通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是．
【构建问题 探寻解决】
说明
由周期性的定义可知,在长度为的区间（如，,）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在上的图像．
问题
如何作函数在上的图像．
解决
1、观察、了解用几何作法作正弦函数在上的图像：

2、用“五点法”作出正弦函数在上的简图：
把区间分成8等份，并且分别求得函数在各分点及区间端点的函数值，列表如下：
x
0

Y=sinx
0
0.71
1
0.71
0
-0.71
-1
-0.71
0

以表中的值为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到的图像。

推广
将函数在上的图像向左或向右平移，，，就得到的图像，这个图像叫做正弦曲线（如下图）。
【动脑思考 探索新知】
概念
正弦曲线夹在两条直线和之间，即对任意的角，都有成立，函数的这种性质叫做有界性．
一般地，设函数在区间上有定义，如果存在一个正数M，对任意的都有，那么函数叫做区间内的有界函数。如果这样的M不存在，函数叫做区间上的无界函数。
显然，正弦函数是R内的有界函数。
归纳
正弦函数的定义域是实数集。
具有下面的性质：
（1）有界性：正弦函数是R内的有界函数，其值域为 ．当时, ；当时,。
（2）周期性：正弦函数是周期为的周期函数。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数。
（4）单调性：正弦函数在每一个区间()上都是增函数,其函数值由−1增大到1；在每一个区间()上都是减函数，其函数值由1减小到−1。
观察发现，正弦函数在上的图像中有五个关键点：, , , , 。如下图：

描出这五个点后，正弦函数,的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在上的简图。这种作图方法叫做“五点法”。
（三）【巩固知识 典型例题】
例1 利用“五点法”作函数在上的图像。
分析 图像中的五个关键点的横坐标分别是0，，，，，这里要求出在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．
解 列表

0

0
1
0
−1
0

1
2
1
0
1

以上表中每组对应的x,y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在上的图像。
例2 已知, 求的取值范围。
解 因为≤，所以≤，即
，
解得 ．
故的取值范围是．
例3 求使函数取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？
分析 将看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换。
解 设，则使函数取得最大值1的集合是
，
由 ,
得 ．
故所求集合为 ，函数的最大值是。
（四）【课堂练习】
练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数在上的图像。
2．利用“五点法”作函数在上的图像。
3．已知 ， 求的取值范围。
4．求使函数取得最大值的的集合，并指出最大值是多少?
（五）【归纳小结 强化思想】
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
（六）【课后作业】
1．利用“五点法”作函数在上的图像。
2．求使函数取得最小值的的集合，并指出最小值是多少?
五、 教学反思
本节课通过问题的提出，引起学生的好奇心，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。但有些同学还是忽视理论探讨，急于动手做，因此总会出现这样或那样的问题，如何让学生少走弯路，对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，这是个值得研究的问题更是值得反复体验的过程。
六、 教师个人介绍
省份：陕西省西安市 学校：周至县第二高级职业中学 姓名： 吴亚鸽
职称： 中教二级 电话：[phone] 电子邮件：wyg19800918@
通讯地址：陕西省西安市周至县第二高级职业中学 邮编：710405
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从参加工作至今，一直从事职业高中数学教学，虽然职业高中的学生基础薄弱，教学难度相对较高，但同时对教师也是一种挑战。面对特殊的教育对象，不抛弃、不放弃。努力做一名合格的职业高中数学教师，是我的职业梦想。