六上数学广角(八).doc

第八单元 数学广角

一、教材说明和教学建议
   （一）教学目标
     1.使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。
     2.使学生会利用图型来解决一些有关的问题。
     3.使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合`、归纳推理、极限等基本的数学思想。
（二）内容安排及其特点
   1.教学内容和作用。
     数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。
     数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是。有的时候，是图形中隐含着数的规侓，可利用数的规侓来解决图形的问题。有时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高.经常需要借助直观模型来帮助理解。例如：利用长方形模型来教学乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位乘两位数的算理、乘法分配侓、完全平方公式等（如下图）。

还有时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。例如：几何及微积分中曲线与方程、方程组及函数与图像互为工具互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比比例关系图象也很好的反映了这样的思想。
本单元中，教材以“1+3+5+7+……+（2n-1）=n2”“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +……=1”为例，引导学生认识和利用数学与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。
具体编排结构如下：
               等差数列1,3,5，…之和与正方形数的关系     例1
数与形                  
                求等比数列1/2,1/4,1/8，…之和      例2

从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层次。
一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，从图形的角度直观的理解“正方形数”和“平方数”的特点。
二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2中，解决1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +……的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观的理解“无限”的抽象概念；再如，练习二十二第6题，通过画示意图的方式可以比较便捷的解决比较抽象的问题。
2.教材编排特点。
本单元教材在编排上有下面几个特点。绿色圃中小学教育网httP://WwW.Lspjy.Com
⑴ 突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如，通过观察和计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+…既能发现加数的规律（从1开始的连续奇数的相加），又能发现和的规律（都是连续的正方形数）；通过观察和计算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、1/2+1/4+1/8+1/16，…同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。
⑵ 在利用数形解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。例如，在例2中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推。使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。
（三）教学建议
1.引导学生数形结合，相互印证。
形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。例如，在例1中可以先让学生计算1+3+5+…的得数，使学生发现得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是说，如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律的呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是2的大正方形和边长是1大正方形，相差的是3个小正方形；边长是3的大正方形和边长是2大正方形，相差的是5个小正方形……相差的小正方形数正好是“”形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+…+（2n-1）=n2。
2.使学生感受到用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。
图形的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加的结果为1。但是如果用圆和线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于1时，其结果就是1.一个极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。
3.引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。
小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第109页第1题，根据例1的结论，很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形，第二个图最外圈有8×2个小正方形，第三个图最外圈有8*3个小正方形……通过推理，可知第n个图最外圈就有8×n个小正方形，每一次都是在前一个图的基础上增加8个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每次多的这8个小正方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加2个小正方形所产生的。

大渡口区大堰小学“有效课堂”六年级数学学科教案
（2015-2016学年上期）
教学班级：六年级三班 主备人： 文 亚 复备人：
第八单元：数学广角 第1课时 课题： 数与形
学习内容
教材第107页例1
学习目标

学习重难点
重点：
难点：
教、学具准备
实物投影、计数器、小卡片、表格
课时安排
1课时
有效准备

有效教学课堂（主要环节）
一、
有效启程
这节课我们要学习新内容。
二、
有效探究
有效交流
1.例1的教学
师(出示下图)：我们一起来看看这些图中图2和图3各有多少个像图1这样的小正方形？

图1 图2 图3

生：图二中有四个图一这样的小正方形图三中有9个这样的小正方形？
师：同学们动动脑尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数？

生：图一：1×1=1：图二2×2=4：图三：3×3=9。
师：观察这几个图形与计算出的得数（1,4,9）.你还有什么发现？
生：从图一开始小正方形的个数是在前一图基础上分别加3，加5.
根据学生的回答，把图中小正方形图上不同的颜色进行演示。
师：如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？
生：1=1×1                                    1=1×1
1+3=2×2=4                 教师板书归纳     1+3=2×2
1+3+5=3×3=9                              1+3+5=3×3
师：在这里形能直观解释数的计算.同学们想一想，按照这样的规律图4会是什么样子？有几个这样的小正方形？同桌两人合作，仿照黑板上的算式，一人说等号左边的部分怎么写，一人说等号右边部分怎么写，有困难可以在草稿上画一画图.
学生合作交流，并利用规律完成例1下面题目
师：观察例1中的这些题目，你有什么发现？
生1：大正方形左下角的小正方形和其他正方形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
生2：左边加法算式里的加数都是奇数。
生3：有几个数相加，和就是几的平方。
生4：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。
师：根据这个同学的发现，想一想，第10个图中有多少个小正方形？第100个图中呢？
学生汇报
师：同学们非常善于观察和思考，学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过来直观的图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。
2.做一做：第108页 第1、2题。
三、
有效提升
练习：第109页练习二十二，第1、2题。
四、
有效反馈
今天你学到了哪些知识？
板书设计 数与形

图1 图2 图3
1 1+3=4 1+3+5=9

1=1×1
1+3=4=2×2
1+3+5=9=3×3
1+3+5＋7=（ ）=（ ）×（ ）

有效链接：1.课件资源
2.教学视频
收获与反思：

大渡口区大堰小学“有效课堂”六年级数学学科教案
（2015-2016学年上期）
教学班级：六年级三班 主备人： 文 亚 复备人：
第八单元：数学广角 第2课时 课题： 数与形
学习内容
教材第88页渗透极限思想练习二十第3至8题
学习目标
1.通过图形直观的表征，让学生更加清晰求的都是同一个阴影部分的面积。从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，越来越接近1，感悟极限思想。
2.培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。
3.重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力
学习重难点
重点：计数单位以及各计数单位间的关系。
难点：数级、数位、计数单位的区别以及”位值”的理解。
教、学具准备
实物投影、计数器、小卡片、表格
课时安排
1课时
有效准备

有效教学课堂（主要环节）
一、
有效启程
计算出结果。

二、
有效探究
有效交流
1.教学例2
计算

从第二个数开始，每个数是前一个数的　
我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。加下去，等号右边的分数越来越接近于1。
可以画个图来帮助思考。用一个圆或一条线段来表示“1”。

从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
2.渗透极限思想。
如果不停地加下去，
（1）猜一猜“和”是多少？
（2）请用“形”来解释这个结果。
（3）反馈：
如果不停地加下去，空白部分会怎么样？那结果会怎么样？（无限接近1。）
三、
有效提升
练习：第110页练习二十二，第3题、第4题、第5题。
四、
有效反馈
1.今天你学到了哪些知识？
2.作业：第110页练习二十二，第6题、第7题、第8题。
板书设计

有效链接：1.课件资源
2.教学视频
收获与反思：

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