【解析】湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学理.doc

湖南省长郡中学
2015届高三第五次月考
数学（理）试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．复数所对应的点位于复平面内
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识点】复数的化简 L1
【答案】B【解析】解析：复数，对应的点坐标为，所以在第二象限，故选择B.
【思路点拨】化简复数即可得到.
【题文】2．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E（X）=
A． B．2 C． D．3
【知识点】离散型随机变量的分布列 K6
【答案】A【解析】解析：由数学期望公式可得：.故选择A.
【思路点拨】根据数学期望公式可得.
【题文】3．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数g（x）=f（x）－x+3的零点的集合为
A．{1，3} B．{-3，-1，1，3}
C．{2，1，3} D．{－2，1，3}
【知识点】函数的奇偶性 函数零点 B4 B9
【答案】D【解析】解析：∵是定义在R上的奇函数，当时，可得的解析式为： 则
∵∴，令当时，，解得，或，当时，，解得（舍去）
∴函数的零点的集合为．故选择D.
【思路点拨】首先根据是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决
【题文】4．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=
A．45 B．60 C．120 D．210
【知识点】二项式定理 J3
【答案】C【解析】解析：的展开式中，含的系数是：含的系数是：含的系数是
含的系数是
∴．故选择C.
【思路点拨】由题意依次求出，项的系数，求和即可．
【题文】5．已知命题p：xAB，则非p是
A．x不属于AB B．x不属于A或x不属于B
C．x不属于A且x不属于B D．xAB
【知识点】命题的否定 A3
【答案】C【解析】解析：由知或，所以非p是：不属于A且不属于B．故选择C
【思路点拨】因即或．是由“或”连接的复合命题，它的否定是由“且”连接的复合命题．
【题文】6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填人的条件是
A．6 ？
B．7 ？
C．8 ？
D．9 ？

【知识点】算法和程序框图 L1
【答案】C【解析】解析：根据程序框图，运行结果如下：
               S        k  
第一次循环    3
第二次循环     4
第三次循环       5
第四次循环      6
第五次循环       7
第六次循环        8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是．故选择C
【思路点拨】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件
【题文】7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．1

【知识点】三视图 G2
【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.
【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．
【题文】8．已知函数的图象分别与直线y =m交于A，B两点，则|AB|的最小值为
A．2 B．2+1n 2 C．e2+ D．2e－ln
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12
【答案】B【解析】解析：由题意，
其中，所以，令，则，∴即函数单调递减，在，函数单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值，所以
故选择B.
【思路点拨】由题意设，则，令求得其最小值即可.
【题文】9．设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则
A．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数
B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数
C．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数
D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数
【知识点】三角函数的图像与性质 C3
【答案】C【解析】解析：由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，所以，即函数为，所以的最小正周期为，且在上为减函数，故选择C.
【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.
【题文】10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+…+g
A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016
【知识点】导数的应用 函数的对称中心 B12 B8
【答案】B【解析】解析：依题意，得：，
由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选择B.
【思路点拨】根据所给的信息可求得函数的拐点为，即，即可得到.
【题文】二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11,12 ,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
【题文】11．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=，则tan的值为 ．

【知识点】直角三角形的射影定理 N1
【答案】【解析】解析：令圆O的半径为R，即，，由相交弦定理可得：.故答案为.
【思路点拨】求的值，可转化为解三角形，根据相交弦定理，不难求出与半径的关系，根据已知也很容易出出OD与半径的关系
【题文】12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为 。
【知识点】极坐标 参数方程 N3
【答案】【解析】解析：由圆的参数方程可得普通方程为：圆心为半径为，直线l的方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.故答案为.
【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再利用弦长（d为圆心到直线的距离）即可求出．
【题文】13．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为 ．
【知识点】含绝对值不等式 基本不等式E2 E6
【答案】【解析】解析：∵，其最小值为2，又∵的最大值为1，故不等式| 恒成立，有
，解得，故答案为
【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案．

（二）必做题（14～16题）
【题文】14．已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则·的取值范围是 。
【知识点】线性规划问题 E5
【答案】【解析】解析：作出不等式组对应的平面区域如图：
设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大，由，即B（1，2），此时．
由，即D（2，1）此时，故，
故答案为：.
【思路点拨】设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.
【题文】15．如图，已知过椭圆的左顶点A（-a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率为 。

【知识点】椭圆的几何性质 H5
【答案】【解析】解析：∵△AOP是等腰三角形，．
设，解得代入方程化简可得：，所以，故答案为.
【思路点拨】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程可得，进而求得离心率．
【题文】16．等边△ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，…，G9，则|（）+（）+…+（）|= 。
【知识点】向量的加法及其几何意义 A1
【答案】【解析】解析：因为△ABC为等边三角形，边长为2
∴，且，=

故答案为.
【思路点拨】将所有的向量用，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解

【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【题文】17．（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望．
【知识点】分层抽样方法 等可能事件的概率 离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6
【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.
【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai与B独立，

，

所以分布列为：

故期望.
【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理可直接得到答案．（2）求ξ的分布及数学期望．首先记事件Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最后根据期望公式即可得到答案．
【题文】18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，若acos C=csin A．
（1）求角C的大小；
（2）若a=3，△ABC的面积为，求·的值．
【知识点】正余弦定理 向量的数量积 C8 F3
【答案】（1）；（2）-1.
【解析】解析：1）因为，
由正弦定理可得：
又；
（2）的面积为
由余弦定理得：，即
则
【思路点拨】由正弦定理可得：可求得；根据面积公式可得，再由余弦定理得以及的值，代入公式可求得.
【题文】19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB= PA=1,AD=，F是PB中点，E为BC上一点．
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）当BE为何值时，二面角C－PE－D为45o．

【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11
【答案】（1）略；（2）.
【解析】解析：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

，F是PB中点，

，
（2）设
设平面的法向量

则取，得

平面PCE的法向量为

∵二面角为45°，
∴，解得
∴当时，二面角为45°，．
【思路点拨】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．（2）设求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出当时，二面角为45°．

【题文】20．（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an（n≥1）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列{ 2nan}的前n项和为Tn，An= +++…+．试比较An与的大小．
【知识点】等比数列 数列求和 D3 D4
【答案】（1）略；（2）.
【解析】解析：
解析：（1）由，
由
于是
整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.
（2）由（1）得
于是

又，问题转化为比较与的大小，即与的大小
设
当时，，
∴当时f（n）单调递增，
∴当时，，而，
∴当时，
经检验n=1，2，3时，仍有
因此，对任意正整数n，都有即
【思路点拨】(1)由整理可得即证得是首项及公比均为的等比数列；（2）由（1）可得
，进而得到，
，转化为比较与的大小，令比较两个数列的最值得大小.
【题文】21．（本小题满分13分）
如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+ y2=1相切于点Q．
（1）当直线PQ的方程为x-y=0时，求抛物线Cl的方程；
（2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

【知识点】抛物线方程 直线与抛物线 H7 H8
【答案】（1）；（2）.
【解析】解析：（Ⅰ）设点P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，
因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x--=0，解得p=2，
所以抛物线C1 的方程为．
（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，
根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，
由方程组，解得Q（，），
所以|PQ|=|xP-xQ|==，
点F（0，）到切线PQ的距离是d==，
所以=××=，
=，
而由知，4p2=，得|x|＞2，
所以===
==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=．
所以的最小值为2+3．
【思路点拨】（Ⅰ）设点P（x，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；
（Ⅱ）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S1可表示，又=，所以可表示为关于x的函数，据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．
【题文】22．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=21nx－x2－ax．
（1）当a≥3时，讨论函数f（x）在上的单调性；
（2）如果x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：
【知识点】导数的应用 B12
【答案】（1）上函数单调递减.；（2）.
【解析】解析： 由已知可得：
，
令得（负根舍去），

故在上恒成立，
所以在上函数单调递减.
（2）是函数的两个零点，
两式子相减可得：
∴

令
∴
∴上单调递减，
∴
又
【思路点拨】(1)求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
(2)由题意可得，代入可得l令，求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案．