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2014年陕西高考数学试题（理）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1.已知集合，则（ ）
2.函数的最小正周期是（ ）
3.定积分的值为（ ）
4.根据右边框图，对大于2的整数，
得出数列的通项公式是（ ）
5.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在
同一个球面上，则该球的体积为（ ）
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离
不小于该正方形边长的概率为（ ）
7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
9. 设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（ ）
（A） （B） （C） （D）
10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11. 已知则=________.
12. 若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.
13. 设，向量，若，则_______.
14. 观察分析下表中的数据：
多面体
面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设，且，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）
的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，求的最小值.
17. （本小题满分12分）
四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分
别交四面体的棱于点.
（1）证明：四边形是矩形；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的
区域（含边界）上
（1）若，求；
（2）设，用表示，并求的最大值.
19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元 的概率.
20. （本小题满分13分）
如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.
（1） 求的值；
（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.
21.（本小题满分14分）
设函数，其中是的导函数.
（1） ，求的表达式；
（2） 若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
参 考 答 案
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11. 12. 13.
14. 15. 3 1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. 解：（1）成等差数列
由正弦定理得
（2）成等比数列
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即
所以的最小值为
17、解：（1）由该四面体的三视图可知：
，
由题设，∥面
面面
面面
∥，∥， ∥.
同理∥，∥， ∥.
四边形是平行四边形
又
平面
∥,∥
四边形是矩形
（2） 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量
∥,∥
即得，取
18. 解：（1）因为
所以
即得
所以
（2）
即
两式相减得：
令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.解：
19.解：设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元／kg”,
由题设知，
因为利润=产量市场价格-成本
所以所有可能的取值为
，
，
,
,
,
所以的分布列为
4000
2000
800
0.3
0.5
0.2
（2）设表示事件“第季利润不少于2000元”，
由题意知相互独立，由（1）知，
3季利润均不少于2000元的概率为
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
20.解：（1）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点，
设的半焦距为，由及，解得
所以，
（3） 由（1）知，上半椭圆的方程为，
易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为
代入的方程中，整理得：
（*）
设点的坐标
由韦达定理得
又，得，从而求得
所以点的坐标为
同理，由得点的坐标为
，
,即
，，解得
经检验，符合题意，
故直线的方程为
21．解：，，
（1）
，，，，即，当且仅当时取等号
当时，
当时
，，即
数列是以为首项，以1为公差的等差数列
当时，
（2）在范围内恒成立，等价于成立
令，即恒成立，
令，即，得
当即时，在上单调递增
所以当时，在上恒成立；
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
设
因为，所以，即，所以函数在上单调递减
所以，即
所以不恒成立
综上所述，实数的取值范围为
（3）由题设知：，
比较结果为：
证明如下：
上述不等式等价于
在（2）中取，可得
令，则，即
故有
上述各式相加可得：
结论得证.
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