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椭圆的离心率
考向一 根据a,b,c的值或关系直接求离心率
1、已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．答案：C
解析：利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．
椭圆的一个焦点为，可得，解得，，
所以．故选：C．
2、已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.C. D.答案：B
解析：由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，所以a2＝，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.
3、已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】由点在椭圆上则： ，
则
当且仅当，即，
由椭圆的离心率，∴椭圆的离心率，故选：D．
4、若椭圆的离心率为，则椭圆长轴长为____________.
解析:首先将方程转化为标准方程，进而能够得出，然后求出，从而得出长轴长,椭圆即，当椭圆的焦点在轴上时，，，由，得，，解得，，即长轴长为，当椭圆的焦点在轴上时，，，即长轴长为，综上所述，椭圆长轴长为或.故答案为：或答案：或
考向二 根据几何性质找a,b,c的关系求离心率
1、设分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C. D．答案：C
解析：根据椭圆的定义及题意列方程，即可求得，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．由椭圆的定义可知，由，
得，整理得，解得，
椭圆的离心率，故选：C．
2、点是椭圆与圆的一个交点，且，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】解：如图：因为椭圆的焦点，，，
而圆的半径，因此△为直角三角形，
又，所以，，，，，由椭圆的定义可知，椭圆的离心率．故选：．
3、如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,
所以,且,则三角形为等腰直角三角形,
设 ,则,解得,
,在三角形 中由勾股定理得,
所以,故答案为:.
4、椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率________
解析：根据角度关系可知且，利用椭圆定义表示出，根据勾股定理建立的齐次方程，解方程求得离心率.由，得：且由椭圆定义知：又，即：整理得：，解得：本题正确结果：本题考查椭圆离心率的求解，涉及到椭圆定义的应用，关键是能够利用勾股定理构造出关于的齐次方程，从而求得离心率.答案：
5、已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 【答案】
【解析】设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，所以a＝3c，所以e＝.
6、设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___________【答案】
【解析】如图，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率

7、椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．【答案】
【解析】设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.

8、已知椭圆的焦距为，圆与椭圆交于两点，若(为坐标原点)，则椭圆的离心率为________.
解析:圆的方程为，表示以为圆心，以为半径的圆．因为，所以为圆的直径，且，故点的坐标分别为．由点在椭圆C上，故，所以，整理得，所以，即，解得（舍去负值）．答案：
10、已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.
解析:根据题意作出图形，设，则，利用椭圆的定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可.根据题意，作图如下：
设，则，由椭圆的定义知，，，因为，所以，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，即，解得，所以，所以椭圆离心率.故答案为：答案:
椭圆的离心率取值范围
考向一 根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围
1、设 ，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
Ａ． 　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．答案：B
解析：解：
根据二次函数值域可得
2、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(，1) B.(，)C. D.【答案】　B
【解析】　由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2
＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos ∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，
所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，
∴－<cos ∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，则<<，即<e<.
考向二 临界关系求离心率的取值范围
1、设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．答案：C
解：记椭圆的左焦点为，则，
根据椭圆定义可得，
当（在和中间）共线时，,
当（在和中间）共线时，，
所以，由椭圆上存在一点，使得，可得，
所以.所以.故选：C．
3、已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（　　）
A． B． C． D．答案：A
解析：法一：关于直线的对称点为，连接交直线于点，则椭圆的长轴长的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为．
法二：不妨设椭圆方程为 ，
与直线l的方程联立 ，
消去 得 ，
由题意易知，解得 ，所以
4、设是椭圆长轴的两个端点．若上存在点满足，则的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9,+∞ B．(0,3]∪[9,+∞ C．(0,1]∪[4,+∞ D．0,3∪[4,+∞ 【答案】A
【解析】(1)当m<3，椭圆的焦点在x轴，当M为短轴端点时∠AMB最大，当∠AMB=120°，此时m=1，所以为了使得C上存在点M满足∠AMB=120°，m∈(0,1]
（2）当m>3，椭圆的焦点在y轴，当M为短轴端点时∠AMB最大，当∠AMB=120°，此时m=9，所以为了使得C上存在点M满足∠AMB=120°，综上所述，选择A
5、已知椭圆, 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围为________．【答案】
6、已知椭圆的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2=1200,椭圆的离心率e的取值范围是_______【答案】32,1.
考向三 根据图形几何性质进行范围分析
1、已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．答案：A
解析：的面积关系可得：，
，，
，则，，
，.
2、已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 ，使得的面积为 ，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．答案：A.
解析：，分别是椭圆的上下两个焦点，可得，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点，使得△的面积为，可得，可得，解得，则椭圆的离心率为：，．
3、已知椭圆 与圆，若在椭圆 上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D. 答案：C
解析：由椭圆上长轴端点向圆作两条切线 ，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点令切线互相垂直，则只需，
即，解得，
.
4、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点P到两焦点的距离之比为2∶1，则椭圆C的离心率的取值范围是________________．
解析：设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，依题意可得解得∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，∴a－a≤2c，解得≥，∴e＝≥.又∵0＜e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围是.
考向四 根据题目条件范围求离心率的取值范围
1、已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．答案：A
解析：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，所以，所以．
取，因为点到直线的距离不小于，
所以，解得．所以．所以椭圆E的离心率的取值范围是.故选：A．
2、设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．答案：D
解析：∵点在椭圆的外部，∴， ，
由椭圆的离心率 ，
又因为，且，要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是．
3、已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】解：设，，，，则，，
，
又，，两式做差，得，
，故．所以，．故选：．
4、分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线、，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】
5、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(，1) B.(，)C. D.【答案】　B
【解析】　由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2
＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos ∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，
所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，
∴－<cos ∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，则<<，即<e<.