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第1讲　函数及其表示
一、知识要点：
1．函数的概念：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x),x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数的定义域。对于A中的每一个x都有一个输出值y与之对应，我们将所有的输出值y组成的集合A叫做函数的值域。
函数的“三要素”：
2.函数定义域的一般方法：
(1)若f（x）是整式，则定义域为R
(2)若f（x）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合
(3)若f（x）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合
(4)若f（x）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合
(5)复合函数定义域：
已知的定义域，其复合函数的定义域。由 解出。
已知的定义域，求的定义域。是_______在____________上的值域
3.求函数解析式的方法：
①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；
③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；
4.求函数值域的类型与求法：
类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
求法：①直接法、②配方法、 ③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合。

二、例题精讲：
题型1：函数的概念
1. 判断下列对应是否为函数：
（1）
（2）；
（3），，；
（4），，．
2.下列函数函数中：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
与函数是同一个函数为 （填序号）
3.（1）设函数

变式1：已知函数，分别由下表给出

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1

则的值为 ；当时， 　　　 ．
变式2：已知函数f(x)= （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.

题型2：求函数解析式
（1）f(+1)=x+2;求f(x)
（2）f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
（3）已知满足，求。

变式1： ，求.
变式2：设二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f(2)=6,求f（x）的解析式

题型3：求函数定义域
求下列函数的定义域.
（1）________________
（2） 若函数的定义域为[-1,1]，函数的定义域___________。
（3）已知：f（x）定义域为 求：f（x2 -2x-3）的定义域。
（4）已知：f（x2 -2x-2）的定义域为 求：f（x）的定义域
变式：函数f (2x－1)的定义域是(0, 1)，则函数f (1－3x)的定义域是__________

题型4：求函数值域
求下列函数的值域.
1. y=2+4 2. 3.y=

4. y= 6.

题型5：综合应用
1、求定义域在［-1，1］上的函数的值域。

变式：已知函数 的值域是，求此函数的定义域。

2、已知函数 的值域为［1，3］，求a、b的值。

变式：若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.

3、 已知二次函数满足条件，，且方程 有两个相等实根。

二、自我检测
1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．

三、典型例题
探究点一　函数与映射的概念
１.下列对应法则是集合P上的函数的是________(填序号)．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应法则：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．

变式迁移1　已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．

探究点二　求函数的定义域
２.求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．

探究点三　求函数的解析式
３.(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)．

变式迁移3　求f(x)的解析式：(1)f(＋1)＝x＋2；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2．
(3)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；
(4)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；

探究点四　分段函数的应用
４.设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程
f(x)＝x的解的个数为________．
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．
①y1＝，y2＝x－5；
②y1＝，y2＝；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f(x)＝，F(x)＝x；
⑤f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.

三、基础练习：
1、下各组函数中表示同一函数的有
（1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=； （4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
2、函数y=的定义域为______________
3、已知函数定义域为(0，2)，求定义域；

4、函数，的值域是______________
5、设函数则 __________ ．

四、巩固训练：
1、已知一次函数满足，，则解析式是____________
2、函数y＝x2＋的值域是____________
3、如果函数f（x）的定义域为[－1，3]，那么函数f（x）－f（－x）的定义域为 ___________ 。
4、如果函数f（x）=的定义域为[－，+，那么实数a的值是 。
5、函数的定义域为R，那么实数a的取值范围是 ________。
6、已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是_________.
7、已知 (x¹0), 求=
8．求下列函数的值域：
（1）； （2）

（3） （4）

9、函数y＝的最大值是______.

10、求函数y＝x2在下列范围内的值域：
（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2] （4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2]

11、（1）若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的为 。
（2）设f(x)= g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是［0，+∞），则g(x）的
值域是 

12、（1）已知，求；
（2）已知是一次函数，且满足，求；

13、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.
（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).

14、已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.