难题突破专题四 特殊三角形存在性问题.doc

难题突破专题四　特殊三角形存在性问题
特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角
形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．
类型1　等腰三角形存在性问题
1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)求抛物线对应的函数表达式．

图Z4－1
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例题分层分析
(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？
(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？
(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；
②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；
③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．

解题方法点析
对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．
类型2　直角三角形、全等三角形存在性问题

图Z4－2
2 如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
例题分层分析
(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．
(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．

解题方法点析
本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．
专 题 训 练
1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．

图Z4－3

2．[2017·湖州] 如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．

图Z4－4
3．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z4－5

4．[2017·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．
(1)求C1的解析式；
(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；
(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．

图Z4－6

5.[2017·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．
(3)点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

图Z4－7

6．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z4－8

参考答案
类型1　等腰三角形存在性问题
例1　【例题分层分析】
(1)令一次函数表达式中的x或y为0，即可求出图象与y轴或x轴的交点坐标．
(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．
(3)①x＝1　(1，a)
②三　AQ＝BQ，AB＝BQ，AQ＝AB
解：(1)∵直线y＝3x＋3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－1，
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，3)．
(2)设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意，得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(3)∵抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3，配方，得y＝－(x－1)2＋4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q(1，a)．
①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.
由勾股定理，得
BQ＝＝，
AQ＝＝，
得＝，解得a＝1，
∴点Q的坐标为(1，1)．
②当AB＝BQ时，如图②，
由勾股定理，得＝，
解得a＝0或6，
当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．

③当AQ＝AB时，如图③，
由勾股定理，得＝，解得a＝±，此时点Q的坐标是(1，)或(1，－)．
综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，)或(1，－)．
类型2　直角三角形、全等三角形存在性问题
例2　【例题分层分析】
(1)顶点　点B　待定系数　(2)点A，B，Q
解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2，
∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.
令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)．
∵点A为抛物线的顶点，
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)2－4，
把(3，0)代入，得4a－4＝0，
解得a＝1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时OP平分第二象限，
即直线PO对应的函数表达式为y＝－x.
设P(m，－m)，则－m＝m2－2m－3，
解得m＝，
∴点P的坐标为.
(3)如图，①当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴DQ1＝，∴OQ1＝，
即点Q1的坐标为；

②当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴OQ2＝，即点Q2的坐标为；
③当∠AQ3B＝90°时，过点A作AE⊥y轴于点E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴＝，即＝，
∴OQ32－4OQ3＋3＝0，∴OQ3＝1或3，
即点Q3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．
综上，点Q的坐标为或或(0，－1)或(0，－3)．
专题训练
1．6
2.或　[解析] 考查反比例函数中系数k的几何意义及等腰三角形的性质．
用B，A两点的坐标来表示C点坐标，得到BC的长度，然后分三种情况讨论k值．
设B(a，)，A(b，)，∴C(a，)，ka＝，kb＝，∴a2＝，b2＝.又∵BD⊥x轴，∴BC＝.
①当AB＝BC时，
AB＝，
∴(a－b)＝，∴(－)＝，
∴k＝.
②当AC＝BC时，AC＝，
∴(1＋)(－)2＝，∴k＝.
③当AB＝AC时，∴1＋＝1＋k2，∴k＝0(舍去)．综上所述，k＝或.
3．解：①若∠BAP＝90°，易得P1(0，2)．
②若∠ABP＝90°，易得P2(0，－3)．
③若∠BPA＝90°，如图，以AB为直径画⊙O′与x轴、y轴分别交于点P3，P4，P5，P6，AB与x轴交于点C，过点O′作O′D⊥y轴于D点．

在Rt△DO′P5中易知O′D＝2，O′P5＝，则P5D＝＝，
OP5＝P5D－OD＝－＝1，则P5(0，1)．易知P5D＝P6D，则P6(0，－2)．连结O′P3，O′P4，
易求出P3(2－，0)，P4(2＋，0)．
综上所述，存在点P，使得△ABP为直角三角形，坐标为P1(0，2)，P2(0，－3)，P3(2－，0)，
P4(2＋，0)，P5(0，1)，P6(0，－2)．
4．解：(1)∵抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，
∴设C1的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
把D(0，3)代入得3＝a(0＋1)2＋4，解得a＝－1，
∴C1的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
(2)由方程组
得x2＋3x＋m－3＝0，
Δ＝32－4×1×(m－3)＝－4m＋21＝0，∴m＝.
(3)抛物线C2的顶点坐标为(1，4)，l2与C1和C2共有：①两个交点，这时l2过抛物线的顶点，∴n＝4；②三个交点，这时l2过两条抛物线的交点D，∴n＝3；③四个交点，这时l2在抛物线的顶点与点D之间或在点D的下方，∴3<n<4或n<3.
(4)根据抛物线的对称性可知，C2的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3，与x轴正半轴的交点B的坐标为(3，0)，
又A(－1，4)，∴AB＝＝4 .
①若AP＝AB，则PO＝4＋1＝5，这时点P的坐标为(－5，0)；
②若BA＝BP，若点P在点B的左侧，则OP＝BP－BO＝4 －3，这时点P的坐标为(3－4 ，0)，若点P在点B的右侧，则OP＝BP＋BO＝4 ＋3，这时点P的坐标为(3＋4 ，0)；
③若PA＝PB，这时点P是线段AB的垂直平分线与x轴的交点，显然PA＝PB＝4，∴P(－1，0)．
综上所述，点P的坐标为(－5，0)或(3－4 ，0)或(3＋4 ，0)或(－1，0)．
5．解：(1)由题意得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)由题易知OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.
同理可知∠OFE＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形．
以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，如图①，则PE＋EF＝PF′＝PH.
又PH＝yC－yP＝3－yP，
∴当yP最小时，PE＋EF取得最大值，
∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
∴当yP＝－1时，(PE＋EF)max＝×(3＋1)＝4 .

(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝2，设D(2，n)，如图②.
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的上方D1位置时，由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即(2－0)2＋(n－3)2＋(3 )2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的下方D2位置时，由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(3 )2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.
综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．
②如图③，以BC的中点T(，)为圆心，BC为半径作⊙T，与抛物线的对称轴x＝2交于D3和D4，

由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD4B＝90°，
设D(2，m)为⊙T上一点，由DT＝BC＝，
得(－2)2＋(－m)2＝()2，
解得m＝±，
∴D3(2，＋)，D4(2，－)，
又由①得D1为(2，5)，D2(2，－1)，
∴若△BCD是锐角三角形，则D点在线段D1D3或D2D4上(不与端点重合)，则点D的纵坐标的取值范围是－1＜yD＜－或＋＜yD＜5.
6．解：(1)由题意，得解得
∴所求抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋4.
(2)如图①，设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G.

由－x2＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，
∴点B的坐标为(－2，0)，
∴AB＝6，BQ＝m＋2.
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴EG＝，
∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·
EG＝(m＋2)＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3.
∵－2≤m≤4，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时点Q的坐标为(1，0)．
(3)存在．在△ODF中，
①若DO＝DF，
∵A(4，0)，D(2，0)，
∴AD＝OD＝DF＝2.
又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°，
∴∠DFA＝∠OAC＝45°，
∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)．
由－x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋，x2＝1－，
∴点P的坐标为(1＋，2)或(1－，2)．
②若FO＝FD，如图②，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得OM＝OD＝1，
∴AM＝3，

∴在等腰直角三角形AMF中，MF＝AM＝3，
∴F(1，3)．
由－x2＋x＋4＝3，
得x1＝1＋，x2＝1－，
∴点P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)．
③若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，
∴AC＝4 ，
∴点O到AC的距离为2 ，
而OF＝OD＝2，与OF≥2 相矛盾，
∴AC上不存在点F，使得OF＝OD＝2，
∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋，2)或(1－，2)或(1＋，3)或(1－，3)．