反比例函数的图像与性质教学设计.docx

反比例函数的图像和性质（1）
教学设计

一、内容和内容解析
本节课内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质．
反比例函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础．反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质．反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在．
反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量、之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐 标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．
对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化．教材中呈现的“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的结构，是学习初等函数时不可或缺的．使学生理解这样的“同构现象”，对于明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义的．再有，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，分析、的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势，进而列表、描点、连线作出函数图象，反映了作函数图象的一般规律．另外，利用图象“特征”确定函数“特性”，也是初中阶段研究函数性质的常用方法．
此外，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃．图象由由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不折射出对函数概念本质属性认识的进一步深化．
因此，学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础．
教学重点：反比例函数的图象和性质．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质．
2．感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想根据反比例函数的图象探究其性质．
3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力．
（二）目标解析
1．本节教学内容的脉络是：先使用描点法画出反比例函数的图象，然后依据图象分析、探究、归纳得到函数的性质．因此，准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提．此时，虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一．通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解；
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质．
3．通过对反比例函数性质探究，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．
三、教学问题诊断分析
对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学生对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：（1）“列表”时确定自变量的取值缺乏代表性及忽略等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与轴、轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．教学时，应注意有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（，,）、“式”（解析式中、的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识．
在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解、因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象比一函数图象的形态丰富，结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深刻理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难．教学中，应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动．
教学难点：准确画出反比例函数的图象，理解反比例函数的性质，并能灵活应用．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板软件为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究反比例函数的性质．
五、教学过程设计
（一）课前展示，知识链接
请小主持人带领大家对跟本节课相关的知识梳理，这样的引入不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备。
（二）知识链接，类比联想
我会先出示本节课的教学目标.
然后提出问题：反比例函数的解析式是什么呢？
接着再问：学习了反比例函数的解析式，也就是从数的角度研究了反比例函数，那么对应的反比例函数的形的方面，也就是图象是什么？性质又是怎样的呢？
（三）观察探究，形成新知
为了充分体现学生自主探究的过程，我会引导学生分这样5步完成. 1．试一试，学生独立画图，教师巡视指导. 以画出反比例函数的图象为例，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程．
（1）列表：

…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…

…

…
列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；
（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；
（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象．
2.议一议，小组内交流所画图象.
3.看一看，学生展示所画图像，教师对错误图象归类呈现，引导学生分析错误原因，重点关注学生的数学语言是否准确，然后教师示范画法，在描点这一步，我借助多媒体再多描出6个点，这样学生就容易观察出这些点形成了两条平滑曲线，以突破本节课第一个难点.
4.说一说：同桌互说一遍画图象时的注意事项，并修改已画图象.
让学生独立画图，充分暴露存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，通过动手操作、动眼观察、动口交流等系列活动，培养学生画图象的能力.
通过再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验，并且为后面归纳性质增加感性认识，也使学生自然进入合作交流，探究性质的环节。我会鼓励学生从多个角度进行比较，培养学生的观察能力.
学生通过观察找出反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？
师生活动：教师启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“”的作用．学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征。这部分的探索我的设计意图是：在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的．
使学生直观的感受这一类函数“形”的特征，经历由特殊到一般的知识生成过程，对反比例函数的图象和性质形成初步印象.
教师设问：k<0时的函数图象和性质又是什么呢？
此时出示探究3.让学生首先独立去观察、类比、发现，然后通过合作交流的方式总结k<0时函数图象和性质，然后引导学生对反比例函数的图象和性质进行总结. 把问题交给学生，给他们充分的时间和空间去思考、去交流，不仅让学生感受到教师的信任，同时也培养了他们自主探究的习惯和团队合作的意识.
这样的设计：不仅解决了课前提出的问题，前后呼应，同时对两种函数的图象和性质进行了对比，渗透了分类讨论的方法和类比的数学思想.这样既培养了学生观察能力，也让学生体会数学的对称美.
总结反比例函数（）图象的特征和性质．
教师帮助学生梳理、归纳，填写表格：
函数
图象形状
图象位置
图象变化趋势
函数增减性

【设计意图】通过归纳，培养学生抽象概括能力．
（三）巩固提高，应用新知
课堂练习：
1．下列图象中，可以是反比例函数的图象的是（ ）．

2．已知反比例函数的图象如图所示，则 0， 且在图象的每一支上，值随的增大而 ．

3. 已知反比例函数的图象过点（2，1），则它的图象在 　 象限，且 0．
4. 若反比例函数（）的图象上有两点(，)，(，)，且，则的值是（ ）．
（A）正数
（B）负数
（C）非正数
（D）非负数
【设计意图】通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化．
（四）归纳反思，深化新知
问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯．
布置作业：
（1）基础达标：教材中练习的第1、2题，习题17.1的第3题；
（2）反思提升：将反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）进行对比，可以从如下方面考虑：
①两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？
②在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？
③两种函数中的取值范围有何不同？常数的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？
六、目标检测设计
1．反比例函数的图象在（ ）．
（A）第一、二象限
（B）第一、三象限
（C）第二、三象限
（D）第二、四象限
2．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）．
3．写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象在第一、三象限，该函数可以是 ；若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是 ．（分别写出一个即可）
4．若双曲线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
5．已知反比例函数，
（1）填写表格中相应的的值：

…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…

…

…
（2）根据表中的数据，描点画出函数的图象．
6．某住宅小区要种植一个面积是1000 m2的矩形草坪，设草坪的长为（单位：m），宽为（单位：m），
（1）与之间有怎样的函数关系；
（2）画出该函数的图象；
（3）若限定草坪的宽大于10 m且不超过20 m，求草坪的长的范围．
在这个环节中以学生的归纳总结为主，教师补充完善，使学生对本节课的知识有了更全面、更系统的认识. .
最后再推荐作业，课外延伸让学生带着问题走进课堂，再带着新的问题走出课堂
这是本节课的板书设计，这样的板书重点突出，使学生对所学习知识有了鲜明而深刻的印象.