专题02集合与函数概念（知识梳理）-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（人教A版必修1）.docx

专题02集合与函数概念(知识梳理)

第一节 集__合

1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R

2．集合间的基本关系
　　表示
关系　　
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或
B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
任意的x，x∉∅，∅⊆A
∅

3．集合的基本运算
　 表示
运算 　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}

A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}

A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
(4)A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.

1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．

[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有(　　)
A．8个　　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(　　)
A．3 B．2
C．2或3 D．0或2或3
解析：选D　由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
(1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数；
(3)新定义集合问题．　　　
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

第二节 函数及其表示

1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

[谨记通法]
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
[典例引领]
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
∴f(x)的解析式是f(x)＝.

第三节 函数的单调性与最值

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
[通法在握]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)求函数最值
方法
步骤
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

(2)比较大小
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(3)解不等式
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数
视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
[提醒]　①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
[典例引领]
1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A　因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1，故选A.
2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
解析：选D　∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.
3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f(x)＝a|x＋b|－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________，实数b的取值范围是________．
解析：当a>0时，函数f(x)＝a|x＋b|－1在(－∞，－b]上是减函数，在(－b，＋∞)上是增函数，不满足函数f(x)＝a|x＋b|－1在(1，＋∞)上是减函数；当a＝0时，f(x)＝－1，不满足函数f(x)＝a|x＋b|－1在(1，＋∞)上是减函数；当a<0时，函数f(x)＝a|x＋b|－1在(－∞，－b]上是增函数，在(－b，＋∞)上是减函数，因为函数f(x)＝a|x＋b|－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a<0且－b≤1，即a<0且b≥－1.
答案：(－∞，0)　[－1，＋∞)

第四节 函数的奇偶性

1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

[谨记通法]
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[典例引领]
1．(2017·温州二模)下列函数中既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝x3＋x B．y＝logax
C．y＝3x D．y＝－
解析：选A　对于A，定义域为R，f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，即有f(x)为奇函数，
又f′(x)＝3x2＋1＞0，则f(x)在R上递增，故A满足条件；
对于B，y＝logax为对数函数，定义域为(0，＋∞)，则函数没有奇偶性，故B不满足条件；
对于C，y＝3x为指数函数，f(－x)≠－f(x)，则不为奇函数，故C不满足条件；
对于D，y＝－为反比例函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，
且在(－∞，0)和(0，＋∞)均为增函数，但在整个定义域上不为增函数．故D不满足条件．
2．(2018·台州测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[a－1，a＋1]，关于x 的不等式f(x2＋a)＞a2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2] B．(0,4]
C．(0，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C　当x≥0时，f(x)＝x2，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2，
∴f(x)＝
∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，
∵不等式f(x2＋a)＞a2f(x)＝f(ax)在x∈[a－1，a＋1]恒成立，∴x2＋a＞ax在x∈[a－1，a＋1]恒成立，
令g(x)＝x2－ax＋a，函数的对称轴为x＝，
当<a－1，即a＞2时，不等式恒成立，可得g(a－1)＝(a－1)2－a(a－1)＋a＝1＞0恒成立；
当a－1≤≤a＋1，即－2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g＝2－a＋a＞0恒成立，
解得a∈(0,2]；
当>a＋1，即a＜－2时，不等式恒成立，可得g(a＋1)＝(a＋1)2－a(a＋1)＋a＝2a＋1＞0，无解；综上，a＞0.