资源描述
模块综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
答案 D
解析 ＝＝－，
对应点(，－)在第四象限．
2．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于( )
A．10 B．10ln10＋lge
C.＋ln10 D．11ln10
答案 B
3．函数y＝(1－sinx)2的导数是( )
A．y＝2sin2x－cosx B．y＝sin2x＋2cosx
C．y＝2sin2x－2cosx D．y＝sin2x－2cosx
答案 D
解析 y′＝2(1－sinx)(1－sinx)′
＝2(1－sinx)(－cosx)
＝2sinxcosx－2cosx
＝sin2x－2cosx.
4．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
答案 B
5．如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为( )
A. B．－2
C．－ D.
答案 C
6．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11，
9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
答案 B
解析 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.
7．如图阴影部分的面积是( )
A．e＋ B．e＋－1
C．e＋－2 D．e－
答案 C
8．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m取值范围是( )
A．m>3 B．m≥
C．m< D．m<0
答案 B
9．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵y′＝x2＋1，∴切线斜率k＝12＋1＝2.
∴切线方程为y－＝2(x－1)，
与坐标轴的交点坐标为(0，－)，(，0)．
∴所求三角形面积为××＝.
10．a、b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是( )
A．a2<b2 B．ab2<a2b
C.< D.<
答案 C
11．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a＝2
C．a≤3 D．0<a<3
答案 A
12．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 m＝－x3＋3x，
令f(x)＝－x3＋3x，则f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x＝±1，
且f(0)＝0，f(1)＝2，f(2)＝－2.
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
∴m∈[－2,2]．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．()2＋()2＝________.
答案 －4－3i
14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2 s内所走过的路程为________ m.
答案 2
15．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，然后归纳猜想出an的表达式为________．
答案 an＝
16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么[－3,3]上f(x)的最大值是________．
答案 57
解析 f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
①当0≤x≤3，－3≤x≤－2时，
f′(x)≥0，f(x)单调递增；
②当－2<x<0时，f(x)单调递减．
则最小值为f(－3)或f(0)．
又由f(－3)＝(－3)3＋3×(－3)2＋a＝a，f(0)＝a，则a＝3.
所以f(x)＝x3＋3x2＋3在x＝－2或x＝3处取得最大值，而f(－2)＝7，f(3)＝57.所以最大值为57.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，
求(1)z1·z2； (2).
解析 ∵z2＝＝＝
＝＝1－3i.
(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i＝－7－9i；
(2)＝＝＝＝＋i.
18．(12分)在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求切点A的坐标以及切线方程．
解析 设点A(x0，x)，函数y＝x2的导函数为y′＝2x，所以当x＝x0导数为2x0.
曲线在点A处的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
可得切线与x轴交于点(，0)，阴影部分的面积S＝
x2dx－··x＝x3x00－x＝x＝，解得x0＝1.
所以切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
19．(12分)(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R，a≠0，f(x)是非常数函数，且f(x＋a)＝.试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解析 (1)tan(x＋)＝＝.
(2)类比猜想：f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝－＝f(x)．
所以f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．
20．(12分)已知a<2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值．
解析 (1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex.
由f′(x)≥0，得x2＋3x＋2≥0，
解得x≤－2或x≥－1.
∴f(x)的单调递增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)．
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex.
由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－a.
∵a<2，∴－a>－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴x＝－2时，f(x)取得极大值．
而f(－2)＝(4－a)·e－2，
∴(4－a)e－2＝6·e－2.
∴a＝－2.
21．(12分)设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an＋)，试求an，并用数学归纳法证明你的结论．
解析 当n＝1时，a1＝(a1＋)，∴a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝(a2＋)，∴a2＝－1(an>0)．
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝(a3＋)，∴a3＝－.
猜想：an＝－.
证明：(1)当n＝1时，已证．
(2)假设n＝k时，ak＝－成立，则当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝(ak＋1＋)－(ak＋)，
即ak＋1－＝－(ak＋)
＝－(－＋)＝－2.
∴ak＋1＝－.
由(1)、(2)可知，对n∈N*，an＝－.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
解析 (1)由奇函数的定义，
应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0.
故解得a＝1，c＝－3.
因此f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f′(－1)＝f′(1)＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－1,1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，f(x)在
[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2.
∴对任意的x1，x2∈(－1,1)，
恒有|f(x1)－f(x2)|<M－m＝2－(－2)＝4.
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