资源描述
2020年高考数学考点题型全归纳（理）
第一章 集合与常用逻辑用语 11
第一节 集 合 11
考点一 集合的基本概念 12
考点二 集合间的基本关系 13
考点三 集合的基本运算 15
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 20
考点一 四种命题及其真假判断 21
考点二 充分、必要条件的判断 22
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围 23
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 28
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假 29
考点二 全称命题与特称命题 30
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 31
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 37
第一节 函数及其表示 37
考点一 函数的定义域 37
考点二 求函数的解析式 39
考点三 分段函数 41
第二节 函数的单调性与最值 49
考点一 确定函数的单调性(区间) 50
考点二 求函数的值域(最值) 52
考点三 函数单调性的应用 54
第三节 函数的奇偶性与周期性 61
62
64
65
第四节 函数性质的综合问题 72
72
73
考点三 函数性质的综合应用 74
第五节 函数的图象 82
83
85
87
第六节 二次函数 94
95
97
第七节 幂函数 105
105
107
第八节 指数式、对数式的运算 111
112
114
第九节 指数函数 118
119
120
第十节 对数函数 127
128
129
第十一节 函数与方程 135
136
138
第十二节 函数模型及其应用 143
143
145
第三章 导数及其应用 151
第一节 导数的概念及运算、定积分 151
考点一 导数的运算 153
考点二 导数的几何意义及其应用 154
考点三 定积分的运算及应用 157
第二节 导数的简单应用 165
第一课时 导数与函数的单调性 166
166
167
第二课时 导数与函数的极值、最值 178
178
180
182
第三节 导数的综合应用 191
第一课时 利用导数解不等式 191
考点一 f(x)与f′(x)共存的不等式问题 191
考点二 不等式恒成立问题 194
考点三 可化为不等式恒成立问题 196
第二课时 利用导数证明不等式 202
考点一 单变量不等式的证明 202
考点二 双变量不等式的证明 205
考点三 证明与数列有关的不等式 206
第三课时 导数与函数的零点问题 211
考点一 判断函数零点的个数 211
考点二 由函数零点个数求参数 213
第四节 导数压轴专项突破 219
第一课时 分类讨论的“界点”确定 219
考点一 根据二次项系数确定分类“界点” 219
考点二 根据判别式确定分类“界点” 220
考点三 根据导函数零点的大小确定分类“界点” 220
考点四 根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” 221
第二课时 有关x与ex，ln x的组合函数问题 223
考点一 x与ln x的组合函数问题 223
考点二 x与ex的组合函数问题 224
考点三 x与ex，ln x的组合函数问题 226
考点四 借助ex≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩 228
第三课时 极值点偏移问题 230
考点一 对称变换 230
考点二 消参减元 231
考点三 比(差)值换元 233
第四课时 导数零点不可求 235
考点一 猜出方程f′(x)＝0的根 235
考点二 隐零点代换 235
考点三 证——证明方程f′(x)＝0无根 236
第五课时 构造函数 238
考点一 “比较法”构造函数证明不等式 238
考点二 “拆分法”构造函数证明不等式 239
考点三 “换元法”构造函数证明不等式 240
考点四 “转化法”构造函数 241
第六课时 “任意”与“存在”问题 242
考点一 单一任意与存在问题 242
考点二 双任意与存在相等问题 243
考点三 双任意与双存在不等问题 244
考点四 存在与任意嵌套不等问题 246
第四章 三角函数、解三角形 252
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 252
253
255
256
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 262
263
考点二 同角三角函数的基本关系及应用 264
第三节 三角函数的图象与性质 272
第一课时 三角函数的单调性 273
273
276
考点三 根据三角函数单调性确定参数 277
第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 284
285
286
288
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 297
考点一 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 298
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换 300
302
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 311
311
考点二 三角函数公式的逆用与变形用 313
315
第六节 简单的三角恒等变换 323
323
324
327
第七节 正弦定理和余弦定理 335
第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 336
考点一 利用正、余弦定理解三角形 336
338
第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 344
344
346
考点三 三角形中的最值、范围问题 349
考点四 解三角形与三角函数的综合应用 351
第八节 解三角形的实际应用 359
359
361
362
第五章 平面向量 366
第一节 平面向量的概念及线性运算 366
368
370
371
第二节 平面向量基本定理及坐标表示 378
考点一 平面向量基本定理及其应用 379
380
381
第三节 平面向量的数量积 386
388
391
第四节 平面向量的综合应用 398
398
399
400
第六章 数列 408
第一节 数列的概念与简单表示 408
考点一 由an与Sn的关系求通项an 409
考点二 由递推关系式求数列的通项公式 410
412
第二节 等差数列及其前n项和 419
420
421
422
第三节 等比数列及其前n项和 429
430
431
433
第四节 数列求和 439
考点一 分组转化法求和 440
考点二 裂项相消法求和 441
考点三 错位相减法 443
第五节 数列的综合应用 450
考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用 450
考点二 等差数列与等比数列的综合计算 452
第七章 不等式 461
第一节 不等式的性质 461
462
463
第二节 一元二次不等式及其解法 468
469
471
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 478
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 478
481
483
第四节 基本不等式 491
491
494
第八章 立体几何 500
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 500
502
502
504
第二节 空间几何体的表面积与体积 511
512
513
516
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 524
525
526
第四节 直线、平面平行的判定与性质 532
考点一 直线与平面平行的判定与性质 533
考点二 平面与平面平行的判定与性质 535
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 543
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 544
546
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 553
553
555
第七节 空间角 562
562
563
565
第八节 空间向量的运算及应用 571
考点一 空间向量的线性运算 573
考点二 共线、共面向量定理的应用 574
考点三 空间向量数量积及应用 575
考点四 利用向量证明平行与垂直问题 577
第九节 利用空间向量求空间角 585
586
588
590
第十节 突破立体几何中的3大经典问题 603
603
607
611
第九章 平面解析几何 623
第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 623
624
625
627
第二节 两直线的位置关系 632
633
634
636
第三节 圆的方程 642
642
645
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 652
652
655
第五节 直线与圆的综合问题 662
662
664
第六节 椭 圆 672
第一课时 椭圆及其性质 673
673
675
676
第二课时 直线与椭圆的综合问题 686
686
687
689
第七节 双曲线 698
699
701
703
第八节 抛物线 712
713
714
716
第九节 曲线与方程 724
考点一 直接法求轨迹方程 725
考点二 定义法求轨迹方程 725
考点三 代入法(相关点)求轨迹方程 726
第十节 解析几何常见突破口 736
考点一 利用向量转化几何条件 736
考点二 角平分线条件的转化 737
考点三 弦长条件的转化 739
考点四 面积条件的转化 741
第十一节 解析几何计算处理技巧 747
考点一 回归定义，以逸待劳 748
考点二 设而不求，金蝉脱壳 749
考点三 巧设参数，变换主元 751
考点四 数形结合，偷梁换柱 753
考点五 妙借向量，无中生有 754
考点六 巧用“根与系数的关系” 756
第十二节 解析几何综合3大考点 763
考点一 定点、定值问题 763
考点二 最值、范围问题 767
考点三 证明、探索性问题 772
第十章 统计与统计案例 781
第一节 随机抽样 781
782
783
784
第二节 用样本估计总体 790
791
792
794
第三节 变量间的相关关系与统计案例 804
考点一 回归分析 805
809
第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 819
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 819
考点一 分类加法计数原理 819
考点二 分步乘法计数原理 820
第二节 排列与组合 827
考点一 排列问题 827
考点二 组合问题 829
考点三 分组、分配问题 831
考点四 排列、组合的综合问题 832
第三节 二项式定理 838
838
841
843
第四节 随机事件的概率 848
考点一 随机事件的关系 850
考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用 852
第五节 古典概型与几何概型 860
861
862
第六节 离散型随机变量及其分布列 871
考点一 离散型随机变量的分布列的性质 872
考点二 超几何分布 874
考点三 求离散型随机变量的分布列 875
第七节 n次独立重复试验及二项分布 882
883
884
886
第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 896
897
899
901
903
第十二章复数、算法、推理与证明 914
第一节 数系的扩充与复数的引入 914
915
916
918
第二节 算法与程序框图 924
925
927
931
第三节 合情推理与演绎推理 941
942
944
945
946
第四节 直接证明与间接证明 952
953
954
选修4－4 坐标系与参数方程 961
第一节 坐标系 961
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 962
963
965
第二节 参数方程 971
972
973
975
选修4－5 不等式选讲 982
第一节 绝对值不等式 982
983
985
985
第二节 不等式的证明 992
992
993
994
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.
AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.
(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.
两集合相等：A＝B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.
二、常用结论
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析] (1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
(2)由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案] (1)B (2)C
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
[题组训练]
1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A. B.
C．0 D．0或
解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的值为0或.
3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为 .
解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.
答案：（5，6］
考点二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则( )
A．B⊆A B．A＝B
C．AB D．BA
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．
[解析] (1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.
(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．
若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0<m≤1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
[答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1]
[变透练清]
1.若本例(2)中A不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：若A⊆B，由得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
答案：[－2,2)
考点三 集合的基本运算
考法(一) 集合的运算
[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，
因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
[答案] (1)C (2)D
考法(二) 根据集合运算结果求参数
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝( )
A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
[解析] (1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.
(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(∁RA)∩B＝( )
A. B.
C. D．∅
解析：选A 由题意得A＝，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪，所以(∁RA)∩B＝.
3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：选A 因为A∩B≠∅，
所以解得a≥1.
1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选A 因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：选B ∵全集为R，B＝{x|x≥1}，
∴∁RB＝{x|x＜1}．
∵集合A＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．
4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪(∁RN)＝M
C．N∪(∁RM)＝R D．M∪N＝M
解析：选D 由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.
5．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B为( )
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A ∵≤2x<，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<，∴A＝.∵ln x≤0，即ln x≤ln 1，∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝.
6．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D 由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.
7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，∪中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：选D 因为∪中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
8．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．
9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.
解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为
________．
解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．
答案：{x|－5≤x≤1}
11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B中的元素个数为________．
解析：法一：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．
联立得方程组解得或
故A∩B＝，所以A∩B中含有2个元素．
法二：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．因为3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素．
答案：2
12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．
解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，
即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，
由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；
(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．
(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，
易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.
故实数a的取值范围是(2,3)．
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；
②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
二、常用结论
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．
考点一 四种命题及其真假判断
[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
[解析] ①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
[答案] D
[题组训练]
1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．
2．已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C 因为P＝＝，Q＝，
所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
考点二 充分、必要条件的判断
[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)定义法
当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.
(2)集合法
由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”⇒“x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，
当x≤0时，≥，
即“x3＜1” “＜”．
所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
(3)等价转化法
因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以非p：x＋y＝－2，非q：x＝－1且y＝－1，
因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
[答案] (1)B (2)A (3)A
[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．
[题组训练]
1.已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．
2.(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．
3.“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，
则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.
可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．
故p是q的充分不必要条件，
即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围
[典例] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．
[解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[答案] [0,3]
[变透练清]
1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以解得
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2.若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵非P是非S的必要不充分条件，
∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且SP.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
