湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期联考数学试题.docx

湖北省部分重点中学高二年级联合考试
数学试题
命题学校：恩施高中 审题学校：沙市中学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）

2. 已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）

3.若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）

4. 若向量，是夹角为的两个单位向量，则；的夹角为（ ）

5.设圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程为（ ）

6. 在中，点、分别是、边的中点，、分别与交于、两点，（），则（ ）

7. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若与相交，且//，则//
8.已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的取值是（ ）
A． ， B．， C．， D．，
9. 已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足．则线段的长度的最大值是　　
A．2 B．4 C．6 D．前三个答案都不对
11. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若，，则点是的中点
B．若，则点是的外心
C．若，，，则点是的垂心
D．若，，，则四面体外接球的表面积为
12.已知满足，满足，则　　
前三个答案都不对

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，都是锐角，，，则 .
14.在中，，，，则 .
15.已知直线的倾斜角等于直线的倾斜角的一半，且经过点，则直线的方程为 .
16.在中，，垂足为，且，则
.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知点，.
（1）求直线的倾斜角；
（2）在轴上求一点，使得以、、为顶点的三角形的面积为.

18.（12分）
在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求的值；
（2）记边的中点为，若，求中线的长度.

19.（12分）
设，，函数，且已知函数在区间上的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）求使得成立的的取值集合.

20.（12分）
设直线，（）.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（3）设直线与轴、轴的正半轴交于点，，求当（点为（1）中的定点）取得最小值时直线的方程.

21.（12分）
如图，已知平面，，且，，，，为垂足.
（1）试判断直线与的关系，并证明你的结论；
第21题图
（2）设直线与平面交于点，点，若二面角的大小为，且，求平面与平面所成的锐二面角的大小.

22.（12分）
已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.
①求的方程，并说明是什么图形；
②试探究：在直线上是否存在定点（异于原点），使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.

湖北省部分重点中学高二年级联合考试数学试题
参考答案
一、 选择题：
1． C 2．A 3．B 4． C 5．C 6． D 7． C 8．A 9．C 10．C 11．D 12．B
二、填空题：
13． 14．或 15． 16．或
三、解答题：
17.解：（1）由斜率公式得：，又
则直线的倾斜角为；………………………………………………4分
（2）由题设条件可知，直线的方程为：，
设点,到直线的距离为，则
则 ……………………………8分

则M的坐标为 ………………………………………10分
另外，也可过点作轴的垂线，构造梯形，利用梯形面积减去2个直角三角形面积可得相应方程，可参考给分。

18．解：（1）由题设条件可得：，即
即： ……………………………5分
（2）
设，则
在中，由余弦定理得，，
即；①
在中，由余弦定理得，，
即；②
又，
① +②得，，故，所以.
因此，中线的长度.……………………………12分

19．解：（1）

，
.………………6分
（2） 令
，
解得.………………12分

20．（1）. ………………3分
（2）当直线过原点时，
当直线不过原点时，，
则
综上，直线方程为…………7分
（3）

当且仅当时等号成立，此时. …………12分

21．（1）∵,
,
又

∵

即直线与是垂直关系.…………………………………………5分
（2）连接，，则∵,
四点共圆

∵,又，
，
∵，
，
∵
,

即平面与平面所成的锐二面角的大小为.……………………………12分

22．（1）设圆心，则由圆与x轴正半轴相切，可得半径．
∵圆心到直线的距离d==，由7+2=，解得．
故圆心为或，半径等于．
∵圆与轴正半轴相切
圆心只能为
故圆的方程为．………………………………4分
（2） ①设，则：=(，)，=（7-,6-）

∵点A在圆上运动
即：
所以点的轨迹方程为，
它是一个以………………………………8分
② 假设存在一点满足条件，设则：

整理化简得：=
∵在轨迹上 化简得：
=0

解得：
存在（，)满足题目条件.………………………………………12分
注：以上各解答仅供参考，其他解法根据具体情况相应给分。