动点问题（讲义及答案）.doc

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动点问题（讲义）
Ø 课前预习
按要求完成下列题目：
如图，直线和x轴，y轴的交点分别为点B，点C，点A的坐标是(-2，0)．动点M以每秒3个单位长度的速度从点O出发沿O-B-O方向运动，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿线段BC向点C运动．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点M运动t秒时，△MON的面积为S．求S与t的函数关系式．
要求：
①研究背景图形，将信息标注到图形上，发现△ABC为______三角形；
②补全运动过程分析图，确定起点、终点及各个分段；
③根据运动过程，画出各段对应图形情况；
④借助s=vt，三角形相似表达相关线段长，并求出S与t之间的函数关系式．

Ø 知识点睛
动点问题的处理思路
1. 研究背景图形．
2. 分析运动过程，画线段图，分段，定范围．（关注四要素）
①根据起点、终点，确定运动路径；
②速度（注意速度是否变化），借助s=vt确定时间（范围）；
③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点；
④所求目标——明确思考方向．
3. 表达，分析几何特征，设计方案求解．
画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求解，结合范围验证结果．
Ø 精讲精练
1. 如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米，解答下列问题：
（1）点P，Q从出发到相遇所用时间是____________秒；
（2）在点P，Q运动的过程中，当△APQ是等边三角形时，x的值为____________；
（3）求y与x之间的函数关系式．

2. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABM是等腰三角形？
（2）连接BM并延长交射线AG于N．
①设四边形ABCN的面积为S，请写出S与t之间的函数关系式．
②当点N在AD边上时（N不与A，D重合），若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于点H，当点H恰好落在CG边上时，求此时AN的长．

3. 如图1，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为(0，10)，(8，4)，点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达点D时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB边上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请求出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度．
（2）求正方形ABCD的边长及顶点C的坐标．
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大？求出此时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，请求出所有符合条件的t值；若不能，请说明理由．

图1 图2

4. 如图，在中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点从点出发，沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点绕行一周回到点时，P，Q两点都停止运动，设点P，Q运动的时间是秒（t＞0）．
（1）D，F两点间的距离是___________．
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求的值．
（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

【参考答案】
Ø 课前预习
1. △ABC为等腰三角形

Ø 精讲精练
1. （1）6
（2）8
（3）
2. （1）当时，是等腰三角形．
（2）
（3）AN的长为1．
3. （1）Q(1，0)，点P以每秒1个单位长度的速度运动．
（2）正方形ABCD的边长为10，C(14，12)．
（3）当时，△OPQ面积最大，此时P．
（4）OP与PQ能相等，此时或．
4. （1）25
（2）能，
（3）或
（4）或