对数与对数函数(解析版).doc

第十讲　对数与对数函数
1．函数y＝log(2x2－3x＋1)的递减区间为(　　)
A．(1，＋∞)　　 B. C. D.
2．(运算题，中)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
3．(精选考题·潍坊市质检)函数f(x)＝log2x的图象的大致形状是(　　)

4．(精选考题·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
5．(精选考题·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则(　　)
A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a
6．(精选考题·浙江)设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是(　　)A．4　　　　　B．6 C．8　　　　　D．10
7．函数y＝的定义域是________．
8．(精选考题·潍坊检测)函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a等于________．
9．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
10．若函数f(x)＝lg(ax2－x＋1)的值域是(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
11．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．
12．已知a>0，a≠1，f(logax)＝.试判断f(x)在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？若不是，请说明理由．
1解析：由2x2－3x＋1＞0，得x＞1或x＜，易知u＝2x2－3x＋1在(1，＋∞)上是增函数，而y＝log(2x2－3x＋1)的底数＜1，且＞0，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．答案：A
2答案：D
3解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f(x)＝log2x ＝log2|x|，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f(x)＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，因此选D.答案：D评析：像这样“给式选图”题一般是通过解析式研究函数的性质(例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性)，及其在函数图象上的特征进行选择．
4解析：不妨设0<a<1<b，由f(a)＝f(b)得－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，因此，a＋b＝a＋>2，故选C.
5解析：a＝log32＝<ln2＝b，又c＝5－＝<，a＝log32>log3＝，因此c<a<b，故选C.答案：C
6解析：集合P中的元素共12个．当a＝－时，f1(x)＝log2－1，f2(x)＝log2，f3(x)＝log2＋1，当x＝1时，这三个函数都不可能经过集合Q中的两个点；当a＝0时，f4(x)＝log2x－1，f5(x)＝log2x，f6(x)＝log2x＋1，此时只有后面两个函数恰好经过集合Q中的两个点；当a＝时，f7(x)＝log2－1，f8(x)＝log2，f9(x)＝log2＋1，此时只有后面两个函数经过集合Q中的两个点；当a＝1时，f10(x)＝log2(x＋1)－1，f11(x)＝log2(x＋1)，f12(x)＝log2(x＋1)＋1，此时f10(x)经过集合Q中的两个点(0，－1)，(1,0)，f11(x)经过集合Q中的三个点，(0,0)，(1,1)，函数f12(x)经过集合Q中的点，(0,1)．综上可知集合P中只有6个元素满足题意．答案：B
7解析：由题意知，log0.5(4x2－3x)≥0＝log0.51，由于0<0.5<1，所以
从而可得函数的定义域为∪.答案：∪
8解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.答案：－2
9解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233，
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝4(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.答案：2008
10解析：令t＝lg(ax2－x＋1)，则y＝t的值域是(0，＋∞)，∴t应取到每一个实数，
即函数t＝lg(ax2－x＋1)的值域为R.当a＝0时，t＝lg(－x＋1)的值域为R，适合题意，
当a≠0时，应有⇒0<a≤.综上，a的取值范围是0≤a≤.答案：0≤a≤
11解：(1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)(2)因为μ＝－(x－1)2＋4≤4，
所以y＝log4μ≤log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.
评析：在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确．
12解：用换元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需讨论．
设t＝logax，则x＝at，∵f(t)＝·　即f(t)＝(at－a－t)．
∴f(x)＝(ax－a－x)．f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，设x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝[(ax1－a－x1)－(ax2－a－x2)]＝·.
∵a>0，a≠1，∴ax1ax2>0,1＋ax1ax2>0.若0<a<1，则ax1>ax2，ax1－ax2>0.此时<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．同理若a>1，f(x1)<f(x2)．
综上所述，当a>0且a≠1时，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，是单调增函数．
评析：对于y＝ax，由于其单调性与a的取值有关，故需分0<a<1和a>1两种情况讨论．
13．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，
a>0且a≠1，
∵a>0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，
从而g(2)＝3－2a>0，∴a<，
∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，∴a＝，
此时f(x)＝log(3－x)，
当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．
评析：这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立．