复变函数实验课(二).doc

湖北民族学院理学院
2014年春季学期
数学与应用数学专业复变函数实验课（二）画图部分

上课教师：汪海玲
复变函数的matlab做图
matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。
单值函数：单叶
多值函数：多叶
matlab使用下列函数进行复变函数的做图：
cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格
z=cplxgrid(m);     %产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为1的圆面
cplxmap：对复变函数做图
cplxmap(z,f(z),[optional bound])   %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围
cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部
cplxroot：画复数的n次函数曲面
cplxroot(n)   %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面
cplxroot(n,m)   %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方阵

例1：画复数z^3的图形
z=3*cplxgrid(30);
cplxmap(z,z.^3);
colorbar
其结果如图

可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。
cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部
由于函数为单页的，所以函数是单值的

例2：画复数（z-0.5）^0.5的图形
仿照cplxroot函数的程序，编程如下
m=20;
n=2;
r=(0:m)'/m;
theta=pi*(-m:m)/m;
z=r*exp(i*theta)-0.5;
w1=z.^(1/n);
subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));
colorbar
w2=w1.*exp(i*2*pi/n);
subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));
colorbar
subplot(2,1,2)
surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));
hold on
surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));
colorbar

如果仅使用 w1=z.^(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）
可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。
例3：复变函数1/（1-z）的级数展开
复变函数1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。
当abs（z）<1时，它的泰勒展开式为
1/(1-z)=求和（k=0,+无穷）z^k
当abs（z）>1时，它的罗朗展开式为
1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）z^k
泰勒展开与罗朗展开的区别
在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.
从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式

m=30;
r=2*(0:m)'/m;
theta=pi*(-m:m)/m;
z=r*exp(i*theta)-0.5;
z(find(z==1))=nan;
z1=z;
z1(abs(z1)>=1)=nan;
w1=1;u1=1;
for k=1:100
     u1=u1.*z1;
     w1=u1+w1;
end
subplot(2,2,1)
cplxmap(z1,w1)
colorbar
z2=z;
z2(abs(z2)<=1)=nan;
w2=1./z2;u2=1./z2;
for k=1:100
     u2=u2./z2;
     w2=u2+w2;
end
subplot(2,2,2)
cplxmap(z2,-w2)
colorbar

subplot(2,2,3)
cplxmap(z,1./(1-z))
colorbar
temp1=caxis;
subplot(2,2,4)
cplxmap(z1,w1)
hold on
cplxmap(z2,-w2)
caxis(temp1)
axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(min(real(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))])
colorbar

图（2，2，1）为泰勒展开，图（2，2，2）为罗朗展开
图（2，2，3）为matlab计算结果，图（2，2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果