必修一第一章第二节函数概念及表示.doc

一、函数及其表示
一、函数与映射：
函数的定义：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记做，。
注：非空性：函数定义中的集合A、B必须是两个非空的数集；
‚任意性：定义域中的每一个x都有函数值；
ƒ存在性、唯一性：每一个自变量的值都有唯一的一个函数值与之对应；
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数；
判断图像是否可以表示为一个函数的方法：做x轴的垂线，与函数的图像最对只能有一个交点
映射概念：设是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称为从集合到集合的一个映射。
例1：设A={a,b,c}，B={x,y,z}，从A到B的对应是
a
b
c
x
y
z
a
b
c
x
y
z
a
B
c
c
x
y
z
a
bc

c
x
y
z

 ‚ ƒ ④
其中是映射的是（ ）
A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④
练习1、下列各图中,可以表示函数的是（ ）

【例1】下列对应是不是从到的映射？
（1），，：；
（2），：；
（3），，：；
（4），，
下列式子能确定y是x的函数的有（    ）       
 ① ② ③
A、0个      B、1个      C、2个      D、3个
已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（   ） 
A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 
B. y=f（x）图像与直线x=a没有交点 
C. y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 
D. y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点

二、 函数的表示法：图像法、列表法、解析式
（1）求函数解析式：
一般方法有代入法、拼凑法、换元法、待定系数法、赋值消元法等；具体的有以下一些情况：
a)有时题中给出函数特征，求函数解析式，可用待定系数法。如函数是二次函数，可设为，其中是待定系数，根据条件，列出方程组，解出即可。
b)换元法求解析式，求的问题，往往可设，从中解出，带入进行换元来解。
c)解方程组法，已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出想其他未知量，如、等，需根据已知等式再构造等式组成方程组通过方程组求出。
方法一：代入法：
1：已知函数f(x)= 则f[f()]=
2、已知，则
3、已知，若，则的值是（ ）
A B 或 C ，或 ！D
4、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.

方法二：换元法
1、已知，求；

2、；

3、已知函数满足，求的解析式。

4、已知f＝，则f(x)的解析式为__________．

5、已知，且，则等于 （ ）
A. B. C. D.
方法三：待定系数法
1、 为二次函数且，；试分别求出的解析式。

2、已知是一次函数，且，求

3、已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．

方法四：赋值消元法（方程组法）
1、 已知对一切x，y∈R， 都成立， 且f（0）=1，
求f（x）的解析式
2、定义在内的函数满足，求函数的解析式。

3、已知 ，求函数f（x）的解析式

4、 已知 ，求函数f（x）的解析式 

三、区间的概念：
设a, b是两个实数，而且a < b, 我们规定：
（1）满足不等式 的实数 的集合叫做 ，表示为
（2）满足不等式 的实数 的集合叫做 ，表示为
（3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做 ，表示为 。
四、函数的定义域
注：求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化；
‚若函数f（x）是整式形式或几次方根式型函数，则定义域为全体实数；
ƒ若函数是分式型函数，则定义域为使分母不为零的全体实数
④若函数是偶次根式函数，则定义域为使被开方式非负实数
⑤若函数是零次幂型函数，则定义域为使得幂底数不等于零的全体实数
⑥由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定
1、 求函数的定义域。

2、函数y＝的定义域为________________．

3、函数的定义域为
五、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
1、已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需；
2、已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域；
（1）已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。
例7、 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。
（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例8、 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。
即函数f(x)的定义域是。
练习题
1. 已知的定义域为[0，1]，求的定义域。

2. 函数的定义域为，则的定义域为 。

． (1)已知f(x)的定义域是[0,4]，求
①f(x2)的定义域；
②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，求f(x)的定义域．

六、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例9、 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；
当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例10、 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数
①当k≠0时，恒成立，解得；
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是。
练习
1、已知函数的定义域为R，求实数的取值范围

七、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例11、 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。

。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

。
故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。
例12、 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，
故

根据实际问题的意义知

故函数的解析式为，定义域（0，）。

八、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例13、已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：
，即
即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当时，F（x）的定义域为；
（2）当时，F（x）的定义域为；
（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
九、求函数值域
一般方法有：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、分离常数法。
例14、 求下列函数的值域
（1）； （2）

变式： 求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。

七：判断两个函数是否表示为同一个函数
抓住两点：（1）定义域是否相同；
（2）对应关系即解析式是否相同。注：解析式可以化简。
例题15：下列函数中哪个与函数相等？
（1）； （2）；
（3） ； （4）。
练习
1、下列函数中与为同一函数的是（ ）
A. B. C. D.

习题：
1.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．（1,10） B.（5,6） C.（10,12） D.（20,24）
2.已知函数，若，则实数等于
A． B. C. D.
3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6是再增选一名代表。那么可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数表示大于的最大整数可以表示为（ ）
A． B. C. D.
4.函数的定义域为（ ）
A． B. C. D.
5.在定义域上的函数满足，，则等于（ ）
A．2 B. 3 C. 6 D. 9
6.函数的定义域为（ ）
A． B. C. D.

一、 填空
7.（2008安徽）函数,的定义域为