二面角等的求法.doc

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五法求二面角
一、 定义法：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，
，点M在侧棱上，=60°
（I）证明：M在侧棱的中点
（II）求二面角的大小。
证（I）略
F
G
解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，
连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，
∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵为AM的中点，
∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角.
∵，则，又∵，∴
F
G
∵，∴△是等边三角形，∴
在△中，，，，∴

∴二面角的大小为

练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为）
二、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。
例2．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC；
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。
证（1）略
解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
练习2（2008天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形．
已知．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
A
B
C
E
D
P
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角的大小为）
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
例3（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
A
B
C
E
D
P
F
G
H
分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略
解: （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，

A
C
B
B1
C1
A1
L
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。
（1）求证：AC1⊥BC；
（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。
提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L
（答案：所成的二面角为45O）
四、射影面积法（）
A
C
B
P
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。
例4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，
，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射
A
C
B
E
P
于是得到下面解法。
解：（Ⅰ）证略
（Ⅱ），，．
又，．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，
A1
D1
B1
C1
E
D
B
C
A
图5
于是可求得：，，则，

设二面角的大小为，则
∴二面角的大小为
练习4： 如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.
分析 平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。
（答案：所求二面角的余弦值为cosθ=）.
五、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD平面CDE；
求二面角A-CD-E的余弦值。
现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得

（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.
（II）证明： ，

（III）

又由题设，平面的一个法向量为
练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.
分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1⊥平面BCC1 B1⊥平面ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。
（答案：，且）
总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。
线线角与线面角习题
1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为 .
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( )
(A). (B). (C). (D).
3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 ．
4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为
(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο
5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上,
当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值
是 ．

三、典型例题
例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形
ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.
备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:
①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线
或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容
易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要
有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.

例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.
备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.

例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC=. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1; (2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.
备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.

四、反馈练习
1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则
(A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC.
2两条直线,与平面所成的角相等,则直线,的位置关系是
(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能.
3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 .
4已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有 条.
5异面直线、互相垂直，与成30o角，则与所成角的范围是 .
6∠ACB=90ο在平面内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面所成的角为 .

7设线段AB=,AB在平面内,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB,C、D在同侧,CA=BD=.求: (1)CD的长;
(2)CD与平面所成角正弦值.

线面角与面面角练习
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二、例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．
(1)求证：AC1⊥平面A1BD．
(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．
解： (1)连AC， ∵C1C⊥平面ABCD，
∴C1C⊥BD．
又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．
(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．
连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，
，∴．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，
使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．
（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．
证明（1）  由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，
即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．
（2）解法1  取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．
△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．
又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，
由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．
设，则，，．
例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，
∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．
取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．
∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，
得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．
∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是 ，BE＝FG．
∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．

解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．

∵∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即 DA⊥AC．∵CC⊥面ACB，
由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．
∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．
说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：
1．已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为 （A）
A．有最小值q，有最大值 B．无最小值，有最大值。
C．有最小值q，无最大值 D．有最小值q，有最大值p-q。
2．下列命题中正确的是 （D）
A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为
45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A）
A．30 B．20 C．15 D．12
4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （C）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为
6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（Ⅰ）求证：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．

解 过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，
∴AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，
∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD
∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，
连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，
，在Rt△ADH中，

8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．
求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．

证明  如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．
∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．
（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面BCD．∴面AEF⊥面BCD．
（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴AEF为二面角B-DC-A的平面

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC，

二面角题目：
例1． 如图所示，已知面，，二面角的平面角为，求证：

2．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小。

例3．设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，，
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）二面角的大小；
（3）异面直线AB和CD所成角的大小。

例4.在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；
（3）平面与平面所成角
解：（1）∵ ∴与所成角就是
∵平面 ∴（三垂线定理）
在中， ∴
（2）作，平面平面
∴平面，为与平面所成角
在中， ∴
（3）∵ ∴平面
又∵平面 ∴平面平面
即平面与平面所成角为

课前预习
1. 60ο 2.A 3. [,] 4.C 5.
典型例题
例1解:∵CB∥AD
∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为,则BF=∵CB⊥AB, EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角
∴∠CBE=∠60ο ∴CE= FC= ∴cos∠CBF=
例2解:(1)设所求的角为,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin=sin∠OC1B==.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. ∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H, ∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=则A1B=得A1H=.故cos∠B1A1H==.所求角为
例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DF⊥FC1,
∴FC1⊥EF.(2) ∵AD⊥面BB1C1C, ∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=·=,∵AB=BC=AC=2,∴AD=.∵>.∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角.

反馈练习
1. D 2. D 3. 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο
7.解:(1)作DD＇⊥于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥,∴CA∥DD＇.四边形CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠D D＇A=90ο,AB,AB⊥DD＇.又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇.∴AB⊥BD＇.∵∠DBD＇是BD与所成的角,∴∠DBD＇=30ο,BD=,DD＇=,BD＇=.在△ABD＇中,AB=,BD＇=,∠ABD＇=90ο,∴AD＇==.在CAD＇D中，CD=.
(2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与所成的角,sin∠C＇D＇A=.

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