江西省新建二中高三适应性考试一数学理试卷.doc

新建二中2013届高三适应性考试(一)数学(理)试卷
命题：赵龙 邓国平、周萍萍 审题：边群根、习海辉 2013.5.4
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集为，集合，，则( )
A． B． C． D．
2. 已知复数对应的点都在以圆心为原点，半径为的圆内（不包括边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论成立的是（　 　）
A.若，且，则 B.若，且，则
C.若，则 D.若，则
4. 已知数列为等差数列,为其前项和,且,则（　 　）
A．25 B．27 C．50 D．54
5. 已知椭圆方程为，、分别是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D．
6. 设x，y满足约束条件,若目标函数（）的最大值为12，则的最小值为（ ）
A．   B．             C．             D．
7. 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
8.设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余.记为a≡b(mod m).已知a=2+C+C·2+C·22+…+C·219，b≡a(mod 10),则b的值可以是（ ）
A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015
9.一批零件有5个合格品和2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
10.如图，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ）

A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ;
12．若，则
的值为 ；
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在点P使，
则该椭圆的离心率的取值范围为 ；
14. 为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域
内植树,第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在C1（1，0）点，
第四棵树点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2013
棵树所在的点的坐标是 。

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.
15（1）（不等式选做题）已知函数．若关于x的不等式的解集是，则的取值范围是 ；
15（2）（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 .
四。解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
16. （本小题满分12分）
在中，的对边分别是，已知.
（1） 求的值；（2）若，求边的值．

17. （本小题满分12分）
一个房间有4扇同样的窗子 ，其中只有一扇窗子是打开的．春暖花开，有一只燕子从开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．燕子飞向各扇窗子是等可能的．(1)假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；(2)假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第次试飞时飞出了房间，求试飞次数的分布列及其数学期望．

18. （本小题满分12分）
如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图（2）示，已知分别为的中点．
（1）求证： ；
（2）当多长时，平面与
平面所成的锐二面角为？
图（1） 图（2）

19. （本小题满分12分）
已知正项数列满足对任意的，都有
(1)求的值和数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

20.（本小题满分13分）已知抛物线的方程为过抛物线上点作、两均在抛物线上．过作轴的平行线，交抛物线于点
（1）若平分，求证：直线的斜率为定值；
（2）若直线的斜率为且点到直线的
距离的和为，试判断的形状，并证明你的结论.

21. （本小题满分14分）
设函数
(1)当时,证明:不等式或者恒成立,或者恒不成立;
(2)已知,其中表示不超过实数的最大整数,且.当时,证明: .

高三适应性考试(一)数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
C
A
C
A
D
A
二、填空题:本大题包括4小题，每小题5分，共20分
11. 12. 13. 14. （11，44）
三、选做题
15.（1） （2）
四、解答题:共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 解：（1）由得 --2分，由于中，， -----------------4分
-------------------6分
（2）由得 -----------------7分
即， -----------9分
得，，平方得 --------------10分
由正弦定理得 -----------------------12分
17. 解：(1)由题意可知：燕子每次试飞出了房间的概率均为.所以燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率P＝×＝. -----------------5分
(2)由题意：P(＝1)＝ P(＝2)＝·＝ P(＝3)＝··＝ P(＝4)＝···1＝
即试飞次数的分布列如下：

1
2
3
4
P

所以试飞次数的数学期望为＝1·＋2·＋3·＋4·＝. -----------------------12分
18. 解：（1）依题意知 且
∴平面
∵平面，∴，------------------2分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，
而，∴ ∴，即-----4分
又 ∴平面，
∵平面， ∴.-----------------------------------------------6分
（2）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，-----------10分
设平面的一个法向量为，则
故，即
令，则，故----------------------------------------10分
∴，
依题意，，，-------------------------------------------------------11分
即时，平面与平面所成的锐二面角为．------------------------12分
解法二：过点A作交DE于M点，连结PM，则
∴为二面角A-DE-F的平面角，------------------------------------------------------8分
由=600，AP=BF=2得AM，------------------------------------10分
又得，
解得，即时，平面与平面所成的锐二面角为．----12
19. 解：(1)当n＝1时，有a＝a，由于an＞0，所以a1＝1.当n＝2时，有a＋a＝(a1＋a2)2，
将a1＝1代入上式，由于an＞0，所以a2＝2.由于a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2，①,则有a＋a＋…＋a＋a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2.②
②－①，得a＝(a1＋a2＋…＋an＋an＋1)2－(a1＋a2＋…＋an)2，
由于an＞0，所以a＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an－1.③同样有a＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，④ ,③－④，得a－a＝an＋1＋an，所以an＋1－an＝1，由于a2－a1＝1，即当n≥1时都有an＋1－an＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an＝n. ----------------------6分
(2) 由(1)知an＝n.则＝＝，所以Sn＝＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝＝－.∵Sn－1－Sn＝＞0，∴数列{Sn}单调递增．所以(Sn)min＝S1＝.要使不等式Sn＞loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要
＞loga(1－a)．∵1－a＞0，∴0＜a＜1.∴1－a＞a，即0＜a＜.
所以，实数a的取值范围是. ----------------------12分
20. 解：（1）在上，，
易得，可设直线的斜率为，则直线的
斜率为，则直线的方程为：，
联立可得，则，即，同理可得
则为定值。-----------------------6分
（2）由（1）可知，，则
由条件可得，即直线关于对称，则点到直线或距离都为，由点到直线距离公式，解得，所以，，即为直角三角形。-----------------------13分