高三数学理人教版一轮训练函数模型及其应用.doc

第9节　函数模型及其应用

【选题明细表】
知识点、方法
题号
一次、二次函数模型
2,3,7,8
指数、对数函数模型
1,4,10
函数模型的综合应用
5,6,9,11,12,13
基础巩固(时间:30分钟)
1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　C　)
(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100
(C)y=50×2x (D)y=100log2x+100
解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型. 故选C.
2.(2017·广元三模)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 m3,则每立方米水费按2元收取;若超过20 m3,则超过的部分按每立方米3元收取,如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水(　D　)
(A)46 m3 (B)44 m3 (C)26 m3 (D)25 m3
解析:设这户居民这个月共用水x立方米,
20×2+(x-20)×3=2.2x,
40+3x-60=2.2x,
0.8x=20,
x=25.
他这个月共用了25立方米的水.
故选D.
3.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料一边靠墙围成一个矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形,如图所示,则围成矩形场地最大面积为(　B　)

(A)2 000 m2 (B)2 500 m2 (C)2 800 m2 (D)3 000 m2
解析:设每个小矩形长为x,宽为y,则4x+3y=200,
S=3xy=x(200-4x)=-4x2+200x
=-4(x-25)2+2 500,
所以x=25时,Smax=2 500(m2).故选B.
4.某工厂2017年生产某产品2万件,计划从2018年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)(　D　)
(A)2021年 (B)2022年 (C)2023年 (D)2024年
解析:设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,
根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,
两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,
所以n>≈6.031 6.
所以n=7,
即2017+7=2024.
所以从2024年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故 选D.
5.(2017·山西长治期中)制作一个面积为1 m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是(　C　)
(A)4.6 m (B)4.8 m (C)5 m (D)5.2 m
解析:设一条直角边为x,则另一条直角边是,
斜边长为,
故周长C=x++≥2+2≈4.82,
当且仅当x=时等号成立,
故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m.
故选C.
6.(2016·长春联合测试)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　B　)
(A)略有盈利
(B)略有亏损
(C)没有盈利也没有亏损
(D)无法判断盈亏情况
解析:设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×
1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有 亏损.
故选B.
7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　m. 

解析:设内接矩形另一边长为y,
则由相似三角形性质可得=,
解得y=40-x,
所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当x=20时,Smax=400(m2).
答案:20
8.某人根据经验绘制了2017年元旦前后,从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿　　　　千克. 

解析:前10天满足一次函数关系式,设为y=kx+b,
将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得
解得k=,b=,所以y=x+,
则当x=6时,y=.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是(　C　)
(A)y=200x (B)y=100x2+100x
(C)y=100×2x (D)y=0.2x+log2x
解析:对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,相差较大,不符合题意;
对于B,x=1时,符合题意,x=2,3时,相差较大,不符合题意;
对于C,x=1,2,3时,y值都近似符合题意;
对于D,x=1,2,3时,相差较大,不符合题意.故选C.
10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t h间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为(已知lg 2=0.301 0,
lg 3=0.477 1)(　B　)
(A)26小时 (B)33小时 (C)36小时 (D)42小时
解析:由题意,前5个小时消除了10%的污染物,
因为P=P0e-kt,
所以(1-10%)P0=P0e-5k,
所以k=-ln 0.9;
则P=P0,当P=50%P0时,
有50%P0=P0,
所以ln 0.9=ln 0.5,
所以t=≈33,
即污染物减少50%需要花33小时.
故选B.
11.已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=;投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为　　　　. 
解析:设投资乙商品x万元(0≤x≤20),则投资甲商品(20-x)万元.
利润分别为Q=(a>0),P=,
因为P+Q≥5,0≤x≤20时恒成立,
则化简得a≥,0≤x≤20时恒成立.
(1)x=0时,a为一切实数;
(2)0<x≤20时,分离参数a≥,0<x≤20时恒成立,
所以a≥,a的最小值为.
答案:
12.(2017·南昌二模)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是　　　　万元. 
解析:由题知t=-1,(1<x<3),
所以月利润:y=(48+)x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-[16(3-
x)+]≤45.5-2=37.5,
当且仅当x=时取等号,即月最大利润为37.5万元.
答案:37.5
13.某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(n)=n2+kn(k是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入g(8)的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
解:(1)据题意g(3)=32+3k=309,解得k=100,
所以g(n)=n2+100n,(n≤5)
第5个月的净收入为g(5)-g(4)=109(万元),
所以,g(8)=g(5)+3×109=852万元.
(2)g(n)=
即g(n)=
若不投资改造,则前n个月的总罚款
3n+×2=n2+2n,
令g(n)-500+100>70n-(n2+2n),
得g(n)+n2-68n-400>0.
显然当n≤5时,上式不成立;
当n>5时,109n-20+n2-68n-400>0,
即n(n+41)>420,
又n∈N,
解得n≥9.
所以,经过9个月投资开始见效.

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。
是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。予亦方举进士，以礼部诗赋为事。年十有七试于州，为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：学者当至于是而止尔！因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。