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利用判别式求值域时应注意的问题
浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域。
错解：原式变形为 （＊）
∵，∴，解得。
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。
正解：原式变形为 （＊）
（1）当时，方程（＊）无解；
（2）当时，∵，∴，解得。
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域。
错解：将函数式化为
（1）当时，代入上式得，∴，故属于值域；
（2）当时， ，
综合（1）、（2）可得函数的值域为。
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数的值域。
错解：由已知得 ①，两边平方得 ②
整理得，由，解得。
故函数得值域为。
错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。∵时，，∴，故函数的值域应为。
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数的值域。
错解：令，则，∴，由及得值域为。
错因：解法中忽视了新变元满足条件。∴设，，，
。故函数得值域为。
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
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