从一道竞赛题窥圆锥曲线定值问题.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）试题研究从一道竞赛题窥圆锥曲线定值问题黄玉聪华中师范大学珠海附属中学519000咱摘要暂 研究者发现圆锥曲线定值问题受命题人的青睐袁 已经成为圆锥曲线命题中的一类热点问题.文章从一道竞赛题中发现椭圆中两直线的斜率之比为定值袁并由此通过变式进行拓展研究袁察觉解决椭圆中有关野斜率冶的定值问题在于巧用特殊条件建立等量关系.关键词圆锥曲线曰椭圆曰斜率曰定值基金项目院珠海市教育科研“十四五”规划第二批（2022年度）课题“高中数学课前导学有效性研究”（2022ZHGHKTG032）.作者简介院黄玉聪（1996），硕士研究生，从事中学数学研究工作，曾获全国大学生数学建模竞赛本科组一等奖、全国大学生数学竞赛（数学专业）二等奖.问题呈现渊2018年全国高中数学联赛重庆市预赛冤设椭圆C的左尧右顶点为A渊原a袁0冤袁B渊a袁0冤袁过右焦点F渊1袁0冤作非水平直线l与椭圆C相交于P袁Q两点袁记直线AP袁BQ的斜率分别为k1袁k2袁试证院k1k2为定值袁并求此定值渊用a的函数表示冤咱1暂.ABQPyxFO图1解析 由题意得c=1袁则b2=a2原c2=a2原1.设过椭圆C右焦点F渊1袁0冤的非水平直线为l院x=ty+1袁与椭圆x2a2+y2a2-1=1联立可得咱渊a2原1冤t2+a2暂y2+2渊a2原1冤ty原渊a2原1冤2=0.设P渊x1袁y1冤袁Q渊x2袁y2冤袁则y1+y2=原2渊a2原1冤t渊a2原1冤t2+a2袁y1y2=原渊a2原1冤2渊a2原1冤t2+a2.两式相除袁得y1+y2y1y2=2a2原1t袁所以ty1y2=a2原12渊y1+y2冤.由题意知k1=y1x1+a=y1ty1+1+a袁k2=y2x2原a=y2ty2+1原a袁所以k1k2=y1渊ty2+1原a冤y2渊ty1+1+a冤=渊a2原1冤渊y1+y2冤2+y1原ay1渊a2原1冤渊y1+y2冤2+y2+ay2=渊a原1冤2y1+渊a2原1冤y2渊a2原1冤y1+渊a+1冤2y2.因为渊a原1冤2a2原1=a原1a+1=a2原1渊a+1冤2袁所以k1k2=a原1a+1.问题变式对该问题进行变式研究.变式题1 如果把原题中的右焦点F的坐标一般化袁即对于一般的椭圆C院x2a2+y2b2=1渊ab0冤袁左尧右顶点为A渊原a袁0冤袁B渊a袁0冤袁过右焦点F渊c袁0冤作非水平直线l与椭圆C相交于P袁Q两点袁记直线AP袁BQ的斜率分别为k1袁k2袁那么k1k2为定值吗钥 答案是肯定的袁证明如下院xOyBQFPA图2证明 设过椭圆C右焦点F渊C袁0冤的非水平直线为l院x=ty+c袁代入椭圆x2a2+y2b2=1得咱渊a2原c2冤t2+a2暂y2+2渊a2原c2冤cty原渊a2原c2冤2=0.设P渊x1袁y1冤袁Q渊x2袁y2冤袁则y1+y2=75投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）试题研究原2渊a2原c2冤ct渊a2原c2冤t2+a2袁y1y2=原渊a2原c2冤2渊a2原c2冤t2+a2.两式相除袁得y1+y2y1y2=2ca2原c2t袁所以ty1y2=a2原c22c渊y1+y2冤.由题意知k1=y1x1+a=y1ty1+c+a袁k2=y2x2原a=y2ty2+c原a袁所以k1k2=y1渊ty2+c原a冤y2渊ty1+c+a冤=渊a2原c2冤渊y1+y2冤2c+cy1原ay1渊a2原c2冤渊y1+y2冤2c+cy2+ay2=渊a原c冤2y1+渊a2原c2冤y2渊a2原c2冤y1+渊a+c冤2y2.因为渊a原c冤2a2原c2=a原ca+c=a2原c2渊a+c冤2袁所以k1k2=a原ca+c.题型反思1 过椭圆焦点的直线与椭圆相交于两点袁由椭圆的左尧右顶点分别引出两条过两交点的直线袁则这两条直线的斜率之商为定值.解决这类题目袁只需先设过椭圆焦点的直线方程袁并将其与椭圆方程联立袁得出两交点纵坐标的和与积之间的关系曰再设两直线斜率作商袁化简计算袁求得定值.笔者发现圆锥曲线定值问题受命题人的青睐袁已经成为圆锥曲线命题中的一类热点问题袁正如原题袁可将其继续变式袁研究一下椭圆中有关野斜率冶的定值问题.我们知道袁一般椭圆的焦点是在椭圆内部且在x轴上的具有特殊意义的点袁除了两个焦点外袁原点作为椭圆的对称中心袁也是在椭圆内部且在x轴上的具有特殊意义的点.故笔者考虑作一条过原点与椭圆相交的直线袁看看在这样的图形中是否存在着与斜率有关的定值.变式题2 设P渊x0袁y0冤是椭圆C院x2a2+y2b2=1渊ab0冤上任意一点袁A袁B是椭圆C上任意两点渊xA屹x0袁xB屹x0冤袁且A袁O袁B三点共线渊O为坐标原点冤袁证明院直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值e2原1.证明 因为A袁O袁B三点共线渊O为坐标原点冤袁且椭圆是关于原点对称的中心对称图形袁所以O渊0袁0冤是A袁B的中点.因为xA屹x0且xB屹x0袁所以直线PA袁PB的斜率一定存在袁不妨设A渊x1袁y1冤袁B渊原x1袁原y1冤袁则直线PA的斜率为kPA=y1原y0 x1原x0袁直线PB的斜率为kPB=原y1原y0原x1原x0=y1+y0 x1+x0.由于点A袁B袁P在椭圆C上袁则x21a2+y21b2=1袁x20a2+y20b2=1袁两式相减袁可得渊x1原x0冤渊x1+x0冤a2+渊y1原y0冤渊y1+y0冤b2=0袁所以1a2+1b2窑渊y1原y0冤渊y1+y0冤渊x1原x0冤渊x1+x0冤=0袁即kPA窑kPB=渊y1原y0冤渊y1+y0冤渊x1原x0冤渊x1+x0冤=原b2a2=c2-a2a2=e2原1.题型反思2 从变式题1到变式题2袁过焦点的直线与椭圆相交于两点变成了过原点的直线与椭圆相交于两点袁由椭圆的左尧右顶点分别引出的过两交点的两条直线变成了由椭圆上一点引出的过两交点的两条直线袁两条直线斜率之比为定值也变成了两条直线斜率之积为定值袁这里我们可以将变式题1的A袁B两点看成一个点P.由于此题的两点在过原点的直线上袁其横尧纵坐标具有特殊性质袁因此不再联立直线方程和椭圆方程袁而是直接利用这一特殊性质设两交点的坐标袁进而表示出两直线斜率之积.再依次将三点的坐标代入椭圆方程袁用点差法找到代数关系袁进一步化简计算袁证得直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值.上述证明再次验证了笔者的想法袁给了笔者深入研究的信心.若作一条不过原点且与椭圆有两个交点的直线袁在这样的图形中是否存在与斜率有关的定值呢钥变式题3 设不过原点O的直线与椭圆C院x2a2+y2b2=1渊ab0冤相交于A袁B两点袁点P是椭圆C上任意一点且线段AB被直线OP平分渊其中xA屹xB且xP屹0冤袁则直线AB与直线OP的斜率之积为定值e2原1.xOyABGP图4证明 设P渊x0袁y0冤袁A渊x1袁y1冤袁B渊x2袁y2冤袁线段AB中点的坐标为x1+x22袁y1+y22.因为直线AB不过原点O袁所以x1+x2屹0.又x1屹x2且x0屹0袁故直线AB与直线OP的斜率一定存在.由于线段AB被直线OP平分袁故y1+y22原0 x1+x22原0=y1+y2x1+x2=y0 x0.由于点A袁B在椭圆C上袁故x21a2+y21b2=1袁x22a2+y22b2=1袁两式相减袁可得渊x1原x2冤渊x1+x2冤a2+xOyBPA图3渊下转第 82 页冤76投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）渊y1原y2冤渊y1+y2冤b2=0袁所以1a2+1b2窑渊y1原y2冤渊y1+y2冤渊x1原x2冤渊x1+x2冤=0袁即kAB窑kOP=y2原y1x2原x1窑y0 x0=渊y2原y1冤渊y1+y2冤渊x2原x1冤渊x1+x2冤=原b2a2=c2原a2a2=e2原1.题型反思3 从变式题2到变式题3袁过原点的直线与椭圆相交于两点变成了不过原点的直线与椭圆相交于两点袁两交点连成的线段被原点平分也变成了两交点连成的线段被椭圆上一点与原点连成的直线平分.这里我们可以看到袁当x轴上的取点更加一般化后袁椭圆上的取点更加特殊了.对于此题袁先巧用中点性质建立椭圆中特殊点渊点P冤的纵尧横坐标之商渊OP的斜率冤与两交点纵尧横坐标之和的商的等量关系曰再将两交点的坐标依次代入椭圆方程袁用点差法找到代数关系袁进一步化简计算袁证得直线AB与直线OP的斜率之积为定值.结束语回顾上述三道变式题袁笔者发现解决此类定值问题的关键在于巧用特殊条件建立等量关系袁如变式题1尧变式题2尧变式题3袁分别利用的是焦点尧原点和中点这样特殊点的性质建立起的等量关系.双曲线和抛物线作为另外两类圆锥曲线袁是否也存在有关野斜率冶的定值呢钥除了有关野斜率冶的定值问题外袁圆锥曲线中还有哪些常见的定值问题钥有兴趣的同行可以继续研究下去.参考文献院1中国数学会普及工作委员会.2020高中数学联赛备考手册 M.上海：华东师范大学出版社，2020.渊上接第 76 页冤这个问题的几何背景是直线AC与吟AMB的外接圆相切袁Rt吟ADB与Rt吟BAC相似袁AC2=CM窑CB 援由上述探究过程可知袁若设BM=CM=1袁则当sin蚁BAM=13时袁AC=2 姨袁此时蚁BAM取最大值援理由如下院tan蚁BAM=tan渊蚁BAC原蚁MAC冤=tan蚁BAC原tan蚁MAC1+tan蚁BACtan蚁MAC=2x原1x1+2x2=xx2+2=1x+2x臆12x窑2x=2 姨4袁当且仅当x=2x袁即x=2 姨时取等号援也就是说袁当x=2 姨时袁tan蚁BAM取得最大值.而正切函数y=tanx在区间0袁仔2上单调递增袁所以当tan蚁BAM取得最大值时袁蚁BAM最大援2.回归教材高考很多试题源于教材袁因此在解题教学中袁要适时回归教材袁夯实基础袁关注知识发生发展的过程.例如本题就源于人教A版必修5第113页习题3.4B组第2题院 树顶A离地面am袁树上另一点B离地面bm袁在离地面cm的C处看此树袁离此树多远时看A袁B的视角最大钥ABC图3过点C作CD彝AB于D袁设CD=x袁则tan蚁ACD=ADCD=a-cx袁tan蚁BCD=b-cx袁所以tan蚁ACB=tan渊蚁ACD原蚁BCD冤=tan蚁ACD原tan蚁BCD1+tan蚁ACD窑tan蚁BCD=a原bx1+渊a原c冤渊b原c冤x2=a原bx+渊a原c冤渊b原c冤x臆a原b2x窑渊a原c冤渊b原c冤x=a原b2渊a原c冤渊b原c冤 姨袁当且仅当x=渊a原c冤渊b原c冤x袁即x=渊a原c冤渊b原c冤 姨时tan蚁ACB取得最大值袁蚁ACB最大援好题犹如一杯咖啡尧一曲老歌袁余香犹存尧余音缭绕袁值得静下心来去品味援数学学习袁离不开解题袁但解题不是数学学习的全部浴数学学习需要野悟冶要要要感悟数学概念袁体悟解题方法袁领悟思想方法援如何去捅破野思维卡壳膜冶袁需要教师引导学生积累数学解题经验袁在分析中发现那架由所求通往已知的桥梁浴试题研究82