圆的性质复习课.docx

第24章 圆
复习与小结（1）
基础知识回顾：
一：圆的基本性质
1.圆的定义：（1）在一个平面内线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆，其中定点O叫作圆心，OA的长叫作半径；
（2）所有点到定点的距离等于定长r的点的集合.
说明根据定义得：在一个圆中，所有的半径相等,直径等于半径的2倍.
2.与圆有关的概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段；
（2）直径：经过圆心的弦.
注意：直径是最长的弦，弦不一定是直径.
（3）弧：圆上任意两点间的部分.（弧的度数是指这条弧所对圆心角的度数）；
注意：一条弧所对的弦只有一条，而一条弦所对的弧有两条，一条是优弧，一条是劣弧.
（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫作半圆.
注意：半圆是弧，弧不一定是半圆. 弧又分为优弧与劣弧和半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示.
（5）等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.
注意：半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等.
（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.
注意：等弧必须在同圆或等圆中的弧，等弧的弧长相等；弧长相等的弧不一定是等弧.

练习：
1.判断正误：
(1)等弧就是拉直以后长度相等的弧（ ）
（2）过圆心的线段是直径（ ）
（3）半圆是最长的弧（ ）
（4）过圆心的直线是直径（ ）
（5）直径是最长的弦（ ）
(6)两个半圆是等弧（ ）
（7）面积相等的两个圆是等圆（ ）
2.下列命题中：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；（3）长度相等的弧是等弧；（4）半径相等的圆是等圆；（5）直径是最长的弦；（6）半圆所对的弦是直径，是真命题的是 （填序号）
3.下列语句中：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆内一定点可以做无数条直径；（5）劣弧比优弧短；菱形的四个顶点在同一个圆上；（6）矩形的四个顶点一定在同一个圆上；正确的是 （填序号）
4.P是圆外一点，且P到圆上点最近距离是3，到圆上最远距离是15，则该圆的半径是 .（若栓除P是圆外一点，而改为点P到）
5.如图，已知⊙O的直径为10cm，OP=3cm，则过圆内一点P的最长的弦
是 cm；最短的弦是 cm.
6.下列说法中正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧
C.直径的长度是半径的2倍 D.无论过圆内哪一点，只能作一条直径
7.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC得度数.
8.如图，BD、CE是△ABC的高，
求证：E、B、C、D四点在同一个圆上.
挑战中考：
1.（2014.长宁区一模）下列说法中，结论正确的是（ ）
A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧.
2.（2013武汉元月）车轮要做成圆形，实际就是根据圆的特征（ ）
A.同弧所对的圆周角相等 B.直径是圆中最大的弦
C.圆上各点到圆心得距离相等 D.圆是中心对称图形
3.（2014.长春二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°

3.圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心.
4.垂径定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
注意：（1）会画出图形，写出几何语言：
（2）应用范围：有下列条件中的两个就想到垂径定理：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的劣弧；⑤直线平分弦所对的优弧；
垂径定理得推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
注意：垂直于弦的直径一定平分弦，但平分弦的直径不一定垂直于这条弦.
对应练习：
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，下列结论不成立的是（ ）
A.CM=DM B.弧CB=弧BD C. ∠ACD=∠ADC D.OM=MD
2.如图，AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB、ON⊥AC，垂足分别是M、N，若MN=3，则BC= .
挑战中考：
1.（2014 舟山）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.8

2.（2013株洲）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC= °.
3.（2013来宾）如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分有水部分，如果水面AB的宽为8cm，
水最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）cm
A. 3 B.4 C. 5 D.6
4.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
则折痕AB的长为 cm.

5. ⊙O的直径为20cm，弦AB=12，CD=16，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 cm
6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心（保留作图的痕迹，不写作法）
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，
求圆片的半径R.（保留根号）

5.弧、弦、圆心角、圆周角
（1）圆心角的定义：顶点在圆心的角叫作圆心角；
（2）圆周角的定义：顶点在圆上，并且角两边和圆相交的角叫作圆周角.
（3）有关定理：
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、圆周角相等；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角、弦、圆周角相等；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角、弧、圆周角相等；
④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的圆心角、弦、弧相等；
即：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角四者中有一个相等，那么其余的三个也相等.
⑤同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的圆周角相等；
⑥同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半.
⑦半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（4）圆内接多边形的定义：
①顶点都在圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆又叫作这个多边形的外接圆.
②圆内接多边形的对角互补；圆内接多边形的一个外角等于与它相邻内角的对角.
注意：圆内接平行四边形是矩形.
对应练习：
1.如图，在⊙O中，弧AB=AC，∠A=30°，则∠B= °
2.如图，A、B是⊙O上两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，
则四边形OACB的形状是 .

3.如图，直线l交⊙O于A、B两点，且将⊙O分成3：1两段，若⊙O的半径为2cm，则△OAB的面积为 .
4.已知⊙O的直径为4，⊙O上两点B、C分⊙O所得的劣弧与优弧的比为1：3，则弦BC的长为 .
4.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm,
则⊙O的周长为 cm.

5.如图，AD是⊙O的直径，且AD=6，点B、C在⊙O上，
弧AmB=AnC，∠AOB=120°，点E是线段CD的中点，则OE= .
6.如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别是60°,30°，已知直径AB=43，连接PB交OQ于M，则QM= .

7.如图，如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，
则∠ADC= °.

8. △ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC= °.
9.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，
则∠BCD= °.
10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC= .
挑战中考：
1.（2014天津）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点在⊙O上，∠CAB的平分弦交⊙O于点D，
（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图2，若∠CAB=60°，求BD的长.

2.（2014无锡）如图AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长

二.与圆有关的位置关系：
（一）点和圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.
1.若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
（1）当0≤d＜r⇔点P在圆内；
（2）当d=r⇔点P在圆上；
（3）当d＞r⇔点P在圆外；
注意：判断点与圆的位置关系，关键求出点到圆心的距离和圆的半径比较，从而得出结论.
2.不在同一直线上的三点确定一个圆，这个圆的圆心是以这三点为顶点的三角形的外接圆，它的圆心是三边垂直平分线的交点，这个圆心又叫作三角形的外心.
注意：（1）一个三角形只有一个外接圆，一个圆可以有无数个内接三角形.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心是斜边的中点，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半；
3.反证法的定义：假设命题的结论不成立，经过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾，则假设不成立，这种证明方法叫作反证法.
（二）直线和圆的位置关系：直线和圆相交、相切、相离三种.
1.判断直线与圆的位置关系方法一：
从直线与圆的交点数：直线与圆有两个交点⇔ 直线与圆相交（割线）
直线与圆只有一个交点⇔ 直线与圆相切（切线）
直线与圆没有交点⇔ 直线与圆相离
从圆心到直线的距离：若⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：（1）当0≤d＜r⇔直线与圆相交；
（2）当d=r⇔直线与圆相切；
（3）当d＞r⇔直线与圆相离；
（三）切线的判定与性质：
1.定义法：直线与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.或圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
2.判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意：（1）是切线一定要满足两个条件：经过半径的外端（即点在圆上）及垂直于这条半径.
（2）证明切线的方法思路：已知点在圆上，就连半径，证垂直；未知点在圆上，就作垂直，证垂线段等于半径.简单记为：有点连半径证垂直，无点做垂直证等于半径.
3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；所以有切点，连切点，就有垂直.
4.三角形内切圆
（1）定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形又叫作这个圆的外切三角形，内切圆的圆心叫作三角形的内心.三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点.
（2）三角形内切圆性质：三角形的内心到三边的距离相等
注意：任意一个三角形只有一个内切圆，内心一定在三角形的内部；任意一个圆有无数个外切三角形.
（3）三角形的面积=12×三角形的周长×内切圆的半径.
5.切线长定理：
（1）定义：在经过圆外一点的切线，这点与切点之间的线段的长，叫作这个点到圆的切线长.
（2）性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角；