云南中考数学《专项二：解答题》精讲教学案题型专项研究：一次函数与反比例函数的图象与性质.doc

题型7　一次函数与反比例函数的图象与性质
,备考攻略)

1．已知交点确定一次函数、反比例函数解析式．
2．求一次函数和反比例函数的交点．
3．一次函数与反比例函数的图象与性质的结合．
4．利用函数图象确定不等式ax＋b>或ax＋b<的解集．

一次函数与反比例函数的图象与性质运用失误；
利用函数图象确定不等式ax＋b>或ax＋b<的解集，经常找错解集或无从下手．

本专题是对一次函数与反比例函数的图象与性质进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强．试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合，又有与空间几何的综合．解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型．

1．已知交点确定一次函数、反比例函数解析式：在一次函数与反比例函数相交求函数解析式的过程中，通常把交点坐标代入反比例函数解析式，再利用图象的对称性或题中其他条件，求出一次函数的解析式．
2．求一次函数和反比例函数的交点：当一次函数与反比例函数有交点时，通常利用方程思想，联立两个函数解析式，消去y，构造一个关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的解法求得x的值，进而得到交点坐标(x，y)．(或者求某一待定系数的取值范围，若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0；若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ＝0；若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.)
3．一次函数与反比例函数的图象与性质的结合：一次函数与或反比例函数有部分相同的待定系数，知道取值范围，利用性质，得到另一个函数的大致图象．
4．利用函数图象确定不等式ax＋b>或ax＋b<的解集：一般先找出图象的交点，再过交点作出y轴的平行线，连同y轴，将平面分成几个区域，在每一个区域里比较图象的高低，从而确定所求不等式的解集．

,典题精讲)

◆确定一次函数、反比例函数解析式

【例1】(2017烟台中考)如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为______．
【解析】据直线y＝x＋2可设点P(m，m＋2)，从而用勾股定理建立方程求出m的值，得到点P的坐标，进而求k.
【答案】3

1．(2013西双版纳中考)已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点B(m，1)，与y轴交于点C，且△BOC的面积为3，点A(－1，3)在反比例函数的图象上．
求：(1)反比例函数的解析式；
(2)直线BC的解析式．

解：(1)∵点A在函数y＝的图象上，
∴把点A(－1，3)代入解析式y＝，
得3＝，解得n＝－3，
∴反比例函数解析式为：y＝－；
(2)把点B(m，1)代入解析式y＝－，
得1＝－，解得m＝－3，
∴B(－3，1)．
过点B作y轴的垂线，垂足为点D，则BD＝3，
∵S△BOC＝·OC·BD＝·OC·3＝3，
∴OC＝2，
即点C的坐标为(0，－2)．
把点B(－3，1)，C(0，－2)代入解析式y＝kx＋b，得
解得
∴直线BC的解析式是y＝－x－2.　
◆求一次函数和反比例函数的交点

【例2】(2017广东中考)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(　　　)
A．(－1，－2) B．(－2，－1)
C．(－1，－1) D．(－2，－2)
【解析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【答案】A

2．(2017徐州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝(m≠0)的图象相交于点A(2，3)，B(－6，－1)，

则不等式kx＋b>的解集为(　B　)
A．x<－6
B．－6<x<0或x>2
C．x>2
D．x<－6或0<x<2
◆一次函数与反比例函数的图象与性质的结合

【例3】(2014昆明中考)如图是反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，则一次函数y＝kx－k的图象大致是(　　　)
,A　　　　　B　　　　　C　　　　　D　)
【解析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质．依据反比例函数图象可知k的取值范围，进而确定－k的取值范围，再根据一次函数的图象及性质可知函数y＝kx－k的图象经过的象限．
【答案】B

3．(2017日照中考)反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象大致是(　D　)
,A),B),C),D)
◆利用函数图象确定不等式ax＋b>或ax＋b<解集
【例4】(2013红河中考)如图，正比例函数y1＝x的图象与反比例函数y2＝(k≠0)的图象相交于A，B两点，点A的纵坐标为2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求出点B的坐标，并根据函数图象，写出当y1>y2时，自变量x的取值范围．

【解析】(1)将点A的纵坐标代入正比例函数y1＝x，确定点A的横坐标，进而求得反比例函数的解析式；(2)联立正比例函数与反比例函数的解析式，求点B，再利用函数图象确定不等式y1>y2的解集．
【答案】解：(1)设A点的坐标为(m，2)，代入y1＝x得m＝2，
∴点A的坐标为(2，2)，
∵y2＝，k＝y2·x
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
(2)当y1＝y2时，x＝，解得x＝2或x＝－2，
结合图象，B点横坐标为x＝－2，此时y＝－2，
∴点B的坐标为(－2，－2)．
由图象可知，当y1>y2时，
自变量x的取值范围是：－2<x<0或x>2.

4．(西宁中考)如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为(2，1)．

(1)求m及k的值；
(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤的解集．
解：(1)由题意可得：点A(2，1)在函数y＝x＋m的图象上，∴2＋m＝1即m＝－1，∵A(2，1)在反比例函数y＝的图象上，∴＝1，∴k＝2；
(2)∵一次函数解析式为y＝x－1，令y＝0，得x＝1，∴点C的坐标是(1，0)，由图象可知不等式组0<x＋m≤的解集为1<x≤2.　

1．(2017张家界中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m(m≠0)与y＝(m≠0)的图象可能是(　D　)

　　　　A　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　D

2．(2017毕节中考)如图，已知一次函数y＝kx－3(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝(x＞0)交于C点，且AB＝AC，则k的值为____．
3．(2017内江中考)已知A(－4，2)，B(n，－4)两点是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－＞0的解集．

解：(1)把A(－4，2)代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，
∴反比例函数解析式为y＝－，
把B(n，－4)代入y＝－，得－4n＝－8，
解得n＝2，
把A(－4，2)和B(2，－4)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－2；
(2)在y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，
即直线y＝－x－2与x轴交于点C(－2，0)，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6；
(3)由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为：x＜－4或0＜x＜2.　

4．(2017北京中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象与直线y＝x－2交于点A(3，m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝(x＞0)的图象于点N.
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
解：(1)将A(3，m)代入y＝x－2，
∴m＝3－2＝1，
∴A(3，1)，
将A(3，1)代入y＝，
∴k＝3×1＝3；
(2)①PM＝PN.理由如下：
当n＝1时，P(1，1)，
令y＝1，代入y＝x－2，
x－2＝1，
∴x＝3，
∴M(3，1)，
∴PM＝2，
令x＝1代入y＝，
∴y＝3，
∴N(1，3)，
∴PM＝2，∴PM＝PN；
②n的取值范围为：0＜n≤1或n≥3.

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