德育视角下的“函数的概念”教学设计与思考.pdf

数学版 年 月 日 第 期 .德育视角下的“函数的概念”教学设计与思考徐芳影 黄贤明(苏州高新区景山实验初级中学校 江苏 苏州)摘 要:函数是刻画事物变化规律的数学模型是渗透数学学科德育、发展数学核心素养的重要载体.以函数的概念的教学设计为例通过创设生活化的连续情境、渗透数学史与数学文化促进学生获得对函数概念本质的内在认同感推进“立德树人”理念的落实.同时提出了教学建议:以实践促进学生“真”感知概念的本质多样化增添数学课堂的情感、人文韵味指向德育发展的情境创设.关键词:初中数学函数概念数学学科德育教学设计基金项目:年江苏省教育科学规划课题“大概念观照下初中数学前建构教学的实践研究”(项目编号:/)苏州市教育科学“十四五”规划课题“数学理解视域下跨学科教学的实践研究”(项目编号:/)苏州市教育学会“十四五”教育科研课题“初中数学概念教学实践研究”(项目编号:“十四五”).作者简介:徐芳影()女江苏苏州人本科中学二级教师研究方向:初中数学教学研究黄贤明()男江苏苏州人本科中学二级教师研究方向:初中数学教学研究.函数是刻画事物变化规律的数学模型在初中阶段函数作为常量数学与变量数学的转折点是变量数学学习的起点在问题解决中发挥着巨大作用.从历史的角度看函数概念的形成不是一蹴而就的而是一个持续发展、逐步完善的过程由于初中阶段数学知识的不完备性教材无法用严谨的数学语言来刻画函数的概念而采用的是更直观的“变量说”来呈现.因此在函数概念的抽象过程中教师需要提供大量的情境让学生从多个函数的表示中抽象提取出函数的概念但如果教师未关注到情境创设连续性和发展性以单一呈现的方式让学生感受到函数变量之间的关系就丧失了渗透数学学科德育、发展数学核心素养的重要契机.因此教师应创设生活化的连续情境充分发挥情境的德育作用引导学生在“做数学”的过程中自主形成概念.内容解析在某一变化过程中总存在着变量与常量函数就是研究两个变量之间的关系.函数的概念是一次函数等具体函数学习的开始其难点就是突破两个变量之间关系的提取.在苏科版教材的引入中创设了四个情境分别是列车行驶、水库水位、搭火柴棒和水滴波纹这四个情境都旨在让学生感受两个变量之间的关系进而提取出函数的概念但情境只停留于学生的直观感受而忽略了学生实践体验的过程仿佛“无根之木”无法让学生形成内在的共识达到形式化理解的层面.因此本课通过对连续情境的具体探究以实践与自主思考相辅抽象出两个变量之间的关系得到函数的概念.本节课的教学重点是了解函数的概念和表示方法.目标和目标解析.目标()了解变量与常量的概念了解函数的概念了解函数的三种表示方式能够利用函数的概念具体判断变量间关系是否为函数.()通过多次具体情境中函数本质属性的提取积累数学抽象活动的经验在绘制情绪曲线中提升描点作图的能力.()通过了解函数概念的发展历史体会并学习数学家的研究精神通过情绪曲线的感悟与绘制提升自身共情力促进数学品格的形成.目标解析达成目标()的标志:让学生凭借过去的经验在具体情境中观察、发现、总结出变量与常量的概念在多个函数情境的学习中亲身感受函数概念的本质属性归纳总结获得概念让学生在情境中利用多种方式表示变量间的对应关系明白函数表示的多样性学生能够抓住概念的本质并利用概念判断具体情境中的变量间关系是否为函数.达成目标()的标志:在各个情境中以列表、绘图等方式感受变量间的对应关系并在情境最后以较为 年 月 日 第 期数学版:/.规范的语言强调两个变量之间存在的关系让学生在平面直角坐标系中描点、连线初步感受函数图象的绘制方法并能在亲身实践和操作中提升描点作图能力.达成目标()的标志:初步了解函数概念的发展学生能够利用函数的概念指出数学史中函数概念发展各个阶段的不足体会并学习数学家严谨、勇于探索的精神了解情绪曲线能够站在他人立场上感受他人的情绪变化并用图象的形式表示出来提升共情力发展数学品格.学生学情分析就年龄特点而言八年级学生已经具备了一定的观察、计算、比较、抽象、归纳的能力拥有一定的数学抽象活动经验能够理性客观地分析具体问题的能力并能够用多种方法解决问题的能力.但由于学生的年龄特点这些能力所达到的水平不高对于概念的归纳而言还需要教师加以引导与启发.基于此本课的教学难点是函数概念的抽象.就知识基础而言八年级学生已经掌握了一些基本的数学模型掌握了平面直角坐标系的知识能够准确地描点能够快速且准确解决简单的函数问题.教学中利用学生已有的经验快速获得情境中两个变量的函数表示探索变量之间存在的关系及时总结反复强化自然地获得函数的概念.教学过程.故事呈现引入课题洛阳城东的桃花李花盛开诗人刘希夷在漫天飘零的花瓣中发出“年年岁岁花相似岁岁年年人不同”的感慨感叹时光易逝青春难驻.随着时间的变化不变的是相似的花和花开花落循环往复的规律而变化的是人的青春流逝、容颜衰老这些“变与不变”的东西是人们主要关注的对象.在数学中也存在着“变与不变”的东西那它们分别是什么呢?它们之间又存在什么关系呢?设计意图 以古诗中存在的“变与不变”来引出数学中的常量与变量明确本节课研究的知识内容为数学课增添人文色彩.情景创设感知概念情境 行驶问题.问题 早上老师以/的速度匀速开车前往学校时间()与路程为()存在着什么关系?在行驶过程中哪些量没有发生变化?哪些量在不断变化?师生活动教师提出问题激发学生思考共同获得 的关系式以及速度是未发生变化的量、时间和路程是不断变化的量.进一步总结得到常量与变量的概念揭示情境中的速度是常量时间和路程是变量.问题 若汽车行驶了.汽车行驶了多少路程?若汽车行驶了.、.、等汽车行驶了多少路程呢?尝试完成下列表格.表 时间/.路程/问题 在表格中可以发现时间不断地增大路程也会随之增大如果时间确定那路程则会怎么样?问题 如何理解“路程确定”?(存在唯一的路程)设计意图 在概念的形成中首例是学生理解概念的重要参照是概念学习的“锚”因此首例的提供与分析是学生提取出概念的本质属性的关键.在问题 中由学生熟悉的行驶问题出发获得路程与时间的关系式感受生活中的常量与变量.在问题 中以填表的形式再次让学生感受路程与时间变化的规律.问题 和 初步揭示函数的本质.在情境 中学生凭借经验性理解给出了函数表达式但表达式并不直观再以填表为辅真正让学生在“做数学”中提取出“路程确定”“存在唯一”等数学语言.情境 购物问题.问题 到达学校后老师去早餐店买包子现在一个包子是.元两个包子一共多少元?三个呢?四个呢?若老师买 个包子需要花费 元则 与 满足什么关系?(.)问题 在该情境中常量是什么?变量是什么?两个变量之间的关系是什么?(记总价格为 包子数量为 其关系式为 .)教师指出:随着购买包子数量的变化其价格也随之而变化当购买包子数量确定时就存在唯一确定的一个价格与之对应.设计意图情境 以购物问题再次感知了变量之间的对应关系增强学生对于变量间对应关系的内在认同感并且进一步规范对具体情境中函数数学语言的描述.情境 情绪曲线.数学版 年 月 日 第 期 .问题 如图 这是老师上午的情绪曲线图你能从图中获得哪些信息?教师讲授:利用图象可以更直观地发现随着时间的变化情绪指数也会随之变化当时间确定时就存在唯一确定的一个情绪指数与之对应.师生活动教师让学生回顾几个月来学习数学的心路历程尝试绘制情绪曲线.部分学生上台展示绘制的情绪曲线并讲述曲线的含义.教师通过学生绘制出的情绪曲线来指出时间与情绪指数的对应关系强化学生对于函数概念的抽象.设计意图 将教师的心路历程作为情境就数学知识而言情境逐步丰富着学生函数概念的知识体系从列表到绘图既弥补了教材中缺乏以图象来刻画函数又让学生在填表和作图的实践中感受并提取出函数概念的本质属性.就数学素养的培养而言情境 让学生经历了两次数学抽象的过程首先是基于学生情感体验的情绪指数抽象而后是时间与情绪指数关系的抽象让学生在不知不觉中发展抽象能力.就情感与德育的发展而言情境充满趣味性便于引导学生感知与分析教师的情绪让学生站在他人的角度思考问题有助于学生共情力的养成.归纳提取获得概念问题 在上述三个情境中有“”和“.”的关系式有三张关系表还有绘制的情绪曲线图象无论是关系式、关系表还是图象它们三者之间的共同点是什么?师生活动 教师提出问题学生思考并指出三者的共同点.教师归纳得出函数的概念.问题 尝试举出一些函数的例子并说说谁是自变量谁是因变量.设计意图学生经历了函数的本质属性在三个情境中反复提取与强化后很容易就能归纳得到其共同点.由于学生思维水平的限制在获得概念的本质属性后由教师再次总结函数的概念并加以例子讲解促进学生在经验性理解的基础上形成函数概念的数学语言达到形式化理解函数概念的层面.以史为鉴辨析概念函数概念的发展并不是一蹴而就的函数最早由德国数学家莱布尼兹提出早期函数的概念仅仅停留于“幂”也就是 的函数仅指 的幂.年瑞士数学家约翰贝努利首次使用“变量”来定义函数将 的函数表示为由变量 和常量构成的式子其强调函数就是由含变量的式子构成的.问题 为什么如今淘汰了约翰贝努利的定义方式?尝试判断 和 是否为 是 的函数.年瑞士数学家欧拉首次用解析式定义函数并且他突破了代数式的局限认为“函数是随意画出的一条曲线”.问题 你认为欧拉的观点正确吗?尝试判断图 的图象是否能够表示 是 的函数.年法国数学家柯西给出了类似教材中的函数定义首次使用“自变量”一词.我国清代数学家李善兰在翻译代数学时将“”翻译为“函数”并沿用至今.设计意图以史为鉴可以知兴替.以教材给出的函数小史为导向一个个分析为何过去的数学家所提出的观点未被保留是不完善导致的还是其本身就是错误的?以函数历史为线索教师加以问题相辅有效地指出了过去数学家在函数探索中的不足促进学生形成对函数的文化性理解.课堂总结知识升华师生活动 学生总结函数的概念、表示方式等知识回顾函数概念的发展历史师生共同绘制思维导图如图 所示.布置作业延伸课堂()教材第 页习题 题.()找一找生活中的函数并选择一种方式将其记录下来.年 月 日 第 期数学版:/.()尝试观察了解自己身边的人如:同桌、父母、老师等画一画他一天中情绪曲线的函数图象.设计意图 发挥函数中的德育作用让学生在观察、思考与记录中发展共情力感受生活中数学的魅力.教学建议.以实践促进学生“真”感知概念的本质任何理论都不如现实具体.在教材中呈现了搭火柴棒的情境其中搭 条小鱼与所需火柴棒数 之间的关系为 ()该情境在苏教版七年级上册“.代数式的值”中首次出现对于学生而言获得关系式并不困难且学生也能感知小鱼数与火柴棒数这两个变量间存在着关系但是学生又如何从“小鱼数变化所需火柴棒数也变化”的关系中进一步归纳出包含“每一个”“唯一”“对应”等数学语言的函数概念仅凭借对于情境或关系式的感受远远不够当学生看到函数概念时并不能形成心理上的认可反而会滋生出畏惧心理影响后续具体函数的学习.因此教师不急于情境的叠加式呈现而应重视对情境进行实践探索.以搭火柴棒情境为例教师可以采用列表或描点作图的方式让学生通过计算发现对于每一个小鱼数 确实只能计算出唯一且确定的火柴棒数 与之对应再由教师利用规范的语言总结让学生内在认可“对每一个小鱼数都有唯一的火柴棒数与之对应”使学生对函数概念的经验性理解逐步向形式化理解推进.多样化增添数学课堂的情感、人文韵味“亲其师信其道”如果师生关系亲密学生就愿意认同教师的教导这对于教学与育人都有着重要作用.因此数学课堂中的情感交流、人文渗透都是促进学生乐于数学学习的法宝.比如:本课以代悲白头翁的名句开篇揭示事物中的“变与不变”引出本课的探究主题在负数的教学中以“月有阴晴圆缺”指出“阴与晴”“圆与缺”都是自然界中矛盾的事物正如数学中相反意义的量一般以“长河落日圆”来引入直线与圆的位置关系等.情感与人文韵味的融入润滑了师生关系调动了课堂氛围利于数学知识的引出与学习.数学本质上是一种文化它包含数学思想方法、数学史等多方面内容.函数概念的发展拥有着丰富的文化历史底蕴也是 视角下的重要研究课题.读史使人明智.函数的发展既包含着科学家们前赴后继、孜孜不倦的探究精神也体现着数学发展之曲折感悟数学在人类发展中的重要作用.因此本课将函数概念的发展史设置在概念获得后增添人文色彩也让学生以如今学习的新定义来辨别历史上旧的定义发现概念发展的思维过程及其可取与不足之处促进学生概念的内化与应用.指向德育发展的情境创设情境的创设是数学学习的伊始其可以是生活的、数学的、科学的等.在立德树人的视角下德育的学科渗透不应只浮于“喊口号”德育应以知识为依托挖掘数学知识体系中的教学素材并在教学中加以合理地阐释与“演绎”.在本课中创设了情绪曲线的生活情境让学生在体会教师早上的心路历程中抽象提取出情绪指数并描点绘制出情绪曲线.学生在情绪指数的抽象中本质上站在了他人的角度思考了问题同时在课后作业中进一步引导学生感受情绪、描述情绪、记录情绪有效发展了学生的观察力、感受力、共情力真正指向学生个人素质品质的发展.参考文献:见海荣.关注学生发展整体把握概念教学 以函数概念教学为例.基础教育课程():.黄贤明.数学理解的内涵、意义与实现途径.江苏教育研究():.方倩 杨泓.视角下的初中函数概念教学.中学数学月刊():.文卫星.超越逻辑的数学教学:数学教学中的德育.上海:上海社会科学院出版社.黄贤明.数学史渗透数学教学的微思考 以“有理数”单元为例.中学数学月刊():.郑天顺.初中数学概念教学的实践与思考 以“函数的概念”为例.中学数学教学参考():.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(年版).北京:北京师范大学出版社.(收稿日期:)