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圆锥与曲线
1）、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2）、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率

3）、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4）、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

渐近线方程

5）、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
6）、抛物线的几何性质：
标准方程

图形

顶点

对称轴
轴
轴
焦点

准线方程

离心率

椭圆与双曲线知识点再作补充：
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：.
ii. 中心在原点，焦点在轴上：.
②一般方程：.
③椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.
②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.
③焦点：或.
④焦距：.
⑤准线：或.
⑥离心率：.
⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：.
一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点：
准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：
顶点：. 焦点：.
准线方程：. 渐近线方程：或，
参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
③离心率.
④准线距（两准线的距离）；通径.
⑤参数关系.
⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
构成满足

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

一、选择题
1．椭圆的两焦点之间的距离为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
3．双曲线的焦距是（　　）
Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与有关
4．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

7．椭圆的一个焦点为，则等于（　　）
Ａ．1 Ｂ．或1 Ｃ． Ｄ．
8．若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

11．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6

二、填空题
13．已知椭圆上一点与椭圆的两个焦点连线的夹角为直角，则　　　　　．
14．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　　　　．

16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为　　　　　．

三、解答题
17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为，求椭圆的方程．

18．椭圆的离心率为，椭圆与直线相交于点，且，求椭圆的方程．

19．已知双曲线与椭圆有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．

一、选择题 CCADDA BDDBCC
二、填空题 13. 48 14. 或 16.
三、解答题
17．答案：解：设椭圆方程，
由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等的等腰直角三角形，因此（为焦距）．
由题意得解得所求椭圆的方程为或．
18．解：，则．由，得．
由消去，得．
由根与系数关系，得，．
，
即，解得，则．
所以椭圆的方程为．
19.解：可以求得椭圆的焦点为，
故可设双曲线方程为，且，则．
由已知条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，
可得两交点的坐标为，点在双曲线上，即．
解方程组得 所以双曲线方程为．