圆锥曲线知识结构.doc

圆锥曲线知识概要
【知识概要】
●1．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定
义
与两个定点，的距离
之和等于常数的点
的轨迹。
与两个定点，的距离
之差的绝对值等于常数
的点的轨迹。
与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
标准
方程
①焦点在轴上：

②焦点在轴上：

①焦点在轴上：

②焦点在轴上：

①焦点在轴上，开口向右：
②焦点在轴上，开口向左：
③焦点在y轴上，开口向上：
④焦点在y轴上，开口向下：
图

形
①焦点在轴上
O
x
y
F1
F2
P

②焦点在轴上
F1
O
x
y
F2
P

①焦点在轴上
O
x
y
F1
F2
P

②焦点在轴上
F1
O
x
y
F2
P

①焦点在轴上，开口向右:
②焦点在轴上，开口向左：
O
x
y
l
F
P
O
x
y
l
F
P
① ②

③焦点在轴上，开口向上：
④焦点在轴上，开口向下：
O
x
y
P
F
O
x
y
P
F
③ ④

焦
点
①
②
①
②
① ；②
③ ；④
顶
点
焦点在轴上：
，
焦点在轴上：
，
焦点在轴上：
焦点在轴上：

关
系
()
()
为焦点到准线的距离
离
心
率

准
线
①焦点在轴上：
②焦点在轴上：
①焦点在轴上：
②焦点在轴上：
①焦点在轴上，开口向右准线：
②焦点在轴上，开口向左准线：
③焦点在轴上，开口向上准线：
④焦点在轴上，开口向下准线：
渐
近
线

①焦点在轴上：
②焦点在轴上：
统一
定义
到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值的点的集合．时，轨迹是椭圆；
时，轨迹是双曲线，时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准线配对使用)
●2．椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依椐和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵活。另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成
，双曲线的标准方程可以统一设成。
●3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是和．离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值去计算，而是根椐题目给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数、、的方程或不等式求得离心率的值或范围。
椭圆的离心率与、、的关系：；
双曲线的离心率与、、的关系：。
●4．双曲线的特殊性质
（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。
（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：。
（3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果双曲线的渐近线为，则它的双曲线方程可设为()；要求双曲线()的渐近线，只需令即可。
●5．若是椭圆上一点，、是其两个焦点，且，则的面积；若是双曲线上一点，、是其两个焦点，且，则的面积。
●6．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点、，则有下列性质：，或为直线的倾斜角，，。
●7．直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况。
其判断方法都是利用代数方法，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去得到一个关于的一元二次方程。
（1）当时，若有，则与相交；若有，则与相切；若有，则与相离；
（2）当时，即得到一个一次方程，若方程有解，则与相交，此时只有一个公共点，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，直线与抛物线的对称轴平行。所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线的与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
若斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点、，则弦长：

●8．高考导航
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分～24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：
1）圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及、、、、五个参数的求解。
②圆锥曲线的几何性质的应用。
2）求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：
①直接法：建系、设点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简单的问题；
②定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可由曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义直接写出轨迹方程；
③待定系数法：若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线、抛物线），可用待定系数法；
④相关点法（坐标代换法）：若动点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先写出关于的方程，再将换成。
3）有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现。
4）求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势。

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