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探究直线左右平移后的函数解析式
湖北省黄石市下陆中学　周国强　湖北省黄石市鹏程中学　陈贵芳
大家知道，在平面直角坐标系中，一条直线向上或向下平移n个单位长度后，其对应的函数解析式分别为y＝kx+b＋n或y＝kx+b－n（k、b为常数且k≠0，n＞0）．那么，你知道当一条直线向左或向右平移n个单位长度后，其对应的函数解析式怎样求吗？

我们先不妨以直线y＝2x＋3为例来作一探索：

将函数解析式y＝2x＋3变形为x＝，当直线y＝2x＋3向左平移2个单位长度时，直线上各点的纵坐标（y）不变，横坐标（x）都相应减少2个单位长度，所以x＝－2，变形得y＝2x＋7，即y＝2x＋3＋2×2；当直线y＝2x＋3向右平移2个单位长度时，直线上各点的纵标（y）不变，横坐标（x）都相应增加2个单位长度，就有x＝＋2，变形得y＝2x－1，即y＝2x＋3－2×2．

那么，对于任一直线y＝kx+b(k、b为常数且k≠0) ，如果该直线向左或向右平移 n（n＞0）个单位长度，仿上，先将y＝kx+b变形为x＝，当直线y＝kx＋b向左平移n个单位长度时,所得函数解析式为x＝－n，变形得y＝kx+b＋k n；当直线y＝kx＋b向右平移n个单位长度时,所得函数解析式为x＝＋n，变形得y＝kx+b－k n．

于是,得到以下两个结论：

⑴如果直线y＝kx+b向左平移n （n＞0）个单位长度，那么所得直线的解析式为y＝kx+b＋kn；

⑵如果直线y＝kx+b向右平移n（n＞0）个单位长度，那么所得直线的解析式为y＝kx+b－kn．

将直线左右平移与直线上下平移对比一下，还不难发现以下四个规律：

⑴直线y＝kx+b（k＞0）向左平移n个单位长度所得到的函数解析式y＝kx+b＋kn，相当于把该直线向上平移n个单位长度后所得函数解析式y＝kx+b＋n中的“n”改写为“k n” ．

如，求直线y＝3x＋1向左平移2（这里k =3，n=2）个单位长度后所得到的解析式，可先计算kn =3×2 = 6，于是，直线y＝3x＋1向左平移2个单位长度得到的解析式，就是该直线向上平移6个单位长度（k＞0时，记 k n＞0表示向上平移）得到的解析式y＝3x＋1＋6，即y＝3x＋7．

⑵直线y＝kx+b（k＞0）向右平移n个单位长度所得到的函数解析式y＝kx+b－kn，相当于把该直线向下平移n个单位长度后所得到函数解析式y＝kx+b－n中的“－n”改写为“－k n”．

如，将直线y＝3x＋1向右平移2（这里k =3，n=2）个单位长度后所得到的解析式，可先计算－k n =－3×2＝－6，于是，直线y＝3x＋1向右平移2个单位长度所得到的解析式，就是该直线向下平移6个单位长度（k＞0时，记－k n＜0表示向下平移）所得到的解析式y＝3x＋1－6，即y＝3x－5．

⑶直线y＝kx+b（k＜0）向左平移n个单位长度所得到的函数解析式y＝kx+b＋kn，相当于把该直线向下平移n个单位长度后所得到的函数解析式y＝kx+b－n中的“－n”改写为“＋k n” ．

如，将直线y＝－3x＋4向左平移2（这里k =－3，n=2）个单位长度后所得到的解析式，可先计算k n = －3×2＝－6，于是，直线y＝－3x＋1向左平移2个单位长度所得到的解析式，就是该直线向下平移6个单位长度（k＜0时，记 k n＜0表示向下平移）所得到的解析式y＝－3x＋4－6，即y＝－3x－2．

⑷直线y＝kx+b（k＜0）向右平移n个单位长度所得到的函数解析式y＝kx+b－kn，相当于把该直线向上平移n个单位长度后所得到函数解析式y＝kx+b＋n中的“＋n”改写为“－k n”．

如，将直线y＝－3x＋1向右平移2（这里k =－3，n=2）个单位长度后所得到的解析式，可先计算－k n ＝ －（－3）×2＝6，于是，直线y＝－3x＋1向右平移2个单位长度所得到的解析式，就是该直线向上平移6个单位长度（k＜0时，记－k n＞0表示向上平移）所得到的解析式y＝－3x＋1+6，即y＝－3x+7．

例题 在平面直角坐标系中,将直线y＝－3x－2：

⑴向左平移2个单位长度,所得直线的解析式为_______________．

⑵向右平移3个单位长度,所得直线的解析式为_______________．

⑶先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的解析式为__________．

⑷先将直线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得直线的解析式为__________．

解法1（运用结论解答）：

⑴ y＝－3x－2+（－3）×2，    即y＝－3x－8；

⑵ y＝－3x－2－（－3）×3 ；  即y＝－3x＋7；

⑶ y＝－3x－2－（－3）×1－2，即y＝－3x－1；

⑷ y＝－3x－2＋（－3）×2+3， 即y＝－3x－5．

解法2（利用规律解答）：

      ⑴ 因为k =－3＜0，k n＝－3×2＝－6，所以直线向左平移2个单位长度所得到的解析式，就是该直线向下平移6个单位长度所得到的解析式y＝－3x－2－6，即y＝－3x－8；

      ⑵ 因为k =－3＜0，－k n＝3×3＝9，所以直线向右平移3个单位长度所得到的解析式，就是该直线向上平移9个单位长度所得到的解析式y＝－3x－2+9，即y＝－3x+7；

      ⑶ 因为k =－3＜0，－k n＝3×1＝3，所以直线向右平移1个单位长度所得到的解析式，就是该直线向上平移3个单位长度所得到的解析式y＝－3x－2+3，即y＝－3x+1；再将直线y＝－3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式为y＝－3x+1－2，即y＝－3x－1；

      ⑷ 因为k =－3＜0，k n＝－3×2＝－6，所以直线向左平移2个单位长度所得到的解析式，就是该直线向下平移6个单位长度所得到的解析式y＝－3x－2－6，即y＝－3x－8；再将直线y＝－3x－8向上平移3个单位，所得直线的解析式为y＝－3x－8+3，即y＝－3x－5．

练习：在平面直角坐标系中，将直线y＝－x＋4作如下平移，写出平移后直线的解析式：  ⑴ 先向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度；

               ⑵ 先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度．

答案：⑴ y＝－x +5；     ⑵ y＝－x＋1．