函数周期的常用求法.doc

三角函数周期的常用求法
一、 公式法
对于函数或的周期公式是，
对于函数或的周期公式是．

例1 函数的最小正周期是 （ ）
Ａ．　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．－４　　　　Ｄ．４
解：由公式，得，故选Ｄ．
评注：对于函数或可直接利用公式求得；对于或可直接利用公式求得。
二、图像法
例２　求下列函数的最小正周期
　　　①　　　　　　　　　　②
解：分别作出两个函数的图像知　
ｙ
ｘ
Ｏ

２
－
－２
ｙ
ｘ
Ｏ

２
－
－２
①的周期②不是周期函数

评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决．
二、 定义法
例３　求函数的最小正周期
解：∵　＝　（）
∴　是函数的周期．显然中最小者是
下面证明是最小正周期
假设不是的最小正周期，则存在，使得：
＝对恒成立，
令，则＝　　①
但，∴　　②　
∴　①与②矛盾，　　∴　假设不成立，∴是最小正周期．
　　评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子出发，设法找出周期中的最小正数（须用反证法证明）．
四、转化法
1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期
例４求函数的周期
解：

∴ ．
变式　求函数的最小正周期
解：∵　＝
　　　　　＝
　　　　　＝
∴　函数的最小正周期是
评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．
2、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期
例5求函数 的周期
解：∵
∴ ．
例6求函数的周期
解：∵

∴ 函数的最小正周期 ．

　　五、最小公倍数法　
例7　求函数的最小整周期
解：设、的最小整周期分别为、，
则，，＝
∴的最小整周期为
评注：设与是定义在公共集合上的两个三角周期函数，、分别是它们的周期，且，则的最小整周期是、的最小公倍数．
　　分数的最小公倍数＝　

抽象函数的周期的求法
象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数，如果对于定义域中的任意，⑴若满足（），则周期；⑵若满足（），即函数图象有两条对称轴，则周期；⑶若满足（），则周期；若满足（），则周期；⑷若满足（），则周期.
一、函数值之和等于零型，即函数满足（）
对于任意满足（），即，则，即，等价于，故函数的周期.
例1（05年天津卷16）设函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，则等于 .
解析 的图象关于直线对称，则（*），函数是上的奇函数，则，（*）式即，，的周期.在（*）式中令可得，利用函数的周期为2，则，因此，.
二、函数图象有（）两条对称轴型
函数图象有两条对称轴，即，改写为，即，等价于，周期.
例2（05年广东卷19）函数在上满足关系式，，且在闭区间上，只有.
（1）判断函数的奇偶性；（2）求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论.
解析 函数满足（*），则的图象有两条对称轴，在闭区间上，只有，而，，故函数不是奇函数；由对称性和得，且，由而可得函数不是偶函数；因此函数是非奇非偶函数.
由（*）式还可以表示为，由可知函数的周期（或直接利用上面的结论，）.在闭区间上，只有，，，且周期，故方程在闭区间和上都有两个解（分别为和），从而方程在闭区间上有402个解，在闭区间上有400个解，从而方程在闭区间上根的个数为802个.
三、两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型
若，显然，则，即，而，因此，即，函数的周期；同理可证，若函数满足（），则周期.
例3 已知函数是上的偶函数，且，恒成立，则的值等于 .
解析 由可知，函数的周期为4，，函数是上的偶函数且，则，在中，令得，，.
四、分式型，即函数满足（）
由（），则（*），，代入（*）式得，即，由上面的类型三，求出周期.
例4．已知函数在上满足关系式.若，则等于 .
解析 由题意（*），将代入（*）式整理得，所以，函数的周期为8，，，.
设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例：
例5 已知定义在上的奇函数满足关系式.当时，，则的值等于（）
A．1 B． C． D．
不少资料选入此题，并给出答案为，提示思路是：，则，将代入可得，周期为2，则.
显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则.这样，与都成立，就不是单值函数了，即根本不是函数！
该“函数”的问题还可以这样来得出：函数是上的奇函数，则，根据，令则，，但的周期为2，必定满足，则，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.

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