函数周期的常用求法.doc

三角函数周期的常用求法 一、 公式法对于函数或的周期公式是，对于函数或的周期公式是例1 函数的最小正周期是 （ ） 解：由公式，得，故选评注：对于函数或可直接利用公式求得；对于或可直接利用公式求得。二、图像法例求下列函数的最小正周期解：分别作出两个函数的图像知 的周期不是周期函数评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决二、 定义法例求函数的最小正周期解：（）是函数的周期显然中最小者是下面证明是最小正周期假设不是的最小正周期，则存在，使得：对恒成立，令，则但，与矛盾，假设不成立，是最小正周期评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子出发，设法找出周期中的最小正数（须用反证法证明）四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例求函数的周期 解： 变式求函数的最小正周期解：函数的最小正周期是评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点2、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例5求函数 的周期解： 例6求函数的周期解： 函数的最小正周期 五、最小公倍数法例7求函数的最小整周期解：设、的最小整周期分别为、，则，的最小整周期为评注：设与是定义在公共集合上的两个三角周期函数，、分别是它们的周期，且，则的最小整周期是、的最小公倍数分数的最小公倍数抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数，如果对于定义域中的任意，若满足（），则周期；若满足（），即函数图象有两条对称轴，则周期；若满足（），则周期；若满足（），则周期；若满足（），则周期.一、函数值之和等于零型，即函数满足（）对于任意满足（），即，则，即，等价于，故函数的周期.例1（05年天津卷16）设函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，则等于 .解析 的图象关于直线对称，则（*），函数是上的奇函数，则，（*）式即，的周期.在（*）式中令可得，利用函数的周期为2，则，因此，.二、函数图象有（）两条对称轴型函数图象有两条对称轴，即，改写为，即，等价于，周期.例2（05年广东卷19）函数在上满足关系式，且在闭区间上，只有.（1）判断函数的奇偶性；（2）求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论.解析 函数满足（*），则的图象有两条对称轴，在闭区间上，只有，而，故函数不是奇函数；由对称性和得，且，由而可得函数不是偶函数；因此函数是非奇非偶函数.由（*）式还可以表示为，由可知函数的周期（或直接利用上面的结论，）.在闭区间上，只有，且周期，故方程在闭区间和上都有两个解（分别为和），从而方程在闭区间上有402个解，在闭区间上有400个解，从而方程在闭区间上根的个数为802个.三、两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型若，显然，则，即，而，因此，即，函数的周期；同理可证，若函数满足（），则周期.例3 已知函数是上的偶函数，且，恒成立，则的值等于 .解析 由可知，函数的周期为4，函数是上的偶函数且，则，在中，令得，.四、分式型，即函数满足（）由（），则（*），代入（*）式得，即，由上面的类型三，求出周期.例4已知函数在上满足关系式.若，则等于 .解析 由题意（*），将代入（*）式整理得，所以，函数的周期为8，.设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例：例5 已知定义在上的奇函数满足关系式.当时，则的值等于（）A1 B C D不少资料选入此题，并给出答案为，提示思路是：，则，将代入可得，周期为2，则.显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则.这样，与都成立，就不是单值函数了，即根本不是函数！该“函数”的问题还可以这样来得出：函数是上的奇函数，则，根据，令则，但的周期为2，必定满足，则，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾. 第 7 页 共 7 页