自来水输送问题.doc

自来水输送问题
某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水有，，三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别是30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同（见表1），其中水库与丁区之间没有输水管道），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？
为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加到多少？
引水管理费（元/千吨）
甲 乙 丙 丁
A
160 130 220 170
B
140 130 190 150
C
190 200 230 /
表1从水库向各区送水的引水管理费
问题分析 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题目给出的数据看，,,三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用元也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。
模型建立 很明显，决策变量为,,三个水库分别向甲，乙，丙，丁四个区的供水量。设水库向区的日供水量为。由于水库与丁区之间没有输水管道，即，因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有

（1）
约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为
（2）
（3）
（4）
考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为
（5）
（6）
（7）
（8）
模型求解 使用LINGO软件求解。
模型分析 送水方案为：水库向乙区供水50千吨，水库向乙、丁区分别供水50，10千吨，水库向甲、丙分别供水40，10千吨。引水管理费为24400元，利润为元。
讨论 如果，,三个水库每天的最大供水量都提高一倍，则公司总供水能力为320千吨，大于总需求量300千吨，水库供水量不能全部卖出，因而不能像前面那样，将获利最多转化为引水管理费最少。此时我们首先需要计算,,三个水库分别向甲，乙，丙，丁四个区供应每千吨水的净利润，即从收
入900元中减去其它管理费450元，再减去表1中的引水管理费，得表2.
净利润（元/千吨）
甲 乙 丙 丁
A
290 320 230 280
B
310 320 260 300
C
260 250 220 /
表2 从水库向各区送水的净利润
于是决策目标为

（9）
由于水库供水量不能全部卖出，所以上面约束（2）～（4）的右端增加一倍的同时，应将等号改成小于、等于号，即
（10）
（11）
（12）
约束（5）～（8）不变。将（5）～（12）构成的线性规划模型输入LINGO求解送水方案为：水库向乙区供水100千吨，水库向甲，乙，丙，丁区分别供水30，40，50千吨，水库向甲、丙区分别供水50，30千吨。总利润为88700元。
其实，由于每个区的供水量都能完全满足，所以上面（5）～（8）每个式子左边的约束都可以去掉，右边的小于、等于号可以改写成等号。作这样的简化后得到的解没有任何变化。
评注 本题考虑的是将某种物资从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小，或总利润最大。这类问题一般称为运输问题，是线性规划应用最广泛的领域之一。在标准的运输问题中，供需量通常是平衡的，即供应点的总供应量等于需求点的总需求量。本题中供需量不平衡，但这并不会引起本质的区别，一样可以方便地建立线性规划模型求解。

3