初探中考试题中存在性探求问题的求解策略( 李庆银).doc

初探中考试题中存在性探求问题的求解策略
安徽 宣城六中 李庆银 TEL： [phone]

探索性问题多年来一直备受各级各类考试的青睐，存在性探求问题是其中极其重要的一种。这类问题常出现“是否存在”“是否变化”等疑问句，以示结论有待判断，证明。由于这类题目较好的检测学生素质和能力，近几年来，在中考试题中，特别是压轴题中经常出现，在竞赛中也时有出现。由于这类题型问题多样，背景丰富，没有固定的解法，解答时需要灵活判断，综合运用基础知识，基本技能和数学思想方法。本文试通过几例，初步探讨解答此类问题的一般策略，思路，方法。
一般回答这类问题采用假设—推证---定论。一般是从存在方面入手，寻求结论成立条件，若能找到这个条件，则回答是肯定的，若找不到这个条件或找到的这个条件与已知条件矛盾，则问题的回答是否定的。
例题1 2010年恩施自治州初中毕业及高中招生考试第24题（压轴题）
24.(12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C ，那么是否存在点P，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

图11
思路与策略：（1）二次函数表达式中有2个未知字母b 和 c，只要能找到2点或2条件带入即可，由题知将B，C 两点坐标代入可求出。（2）在回答是否存在P点时，先假设存在，在草稿上用铅笔画出P关于Y轴对称的P′，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，知道P P′ 垂直平分OC，从而知道P的纵坐标，继而求出它的横坐标。（3）假设在抛物线上且在BC下方的P点符合要求，做PE垂直AB于E，交BC于Q，运用面积分割法，得

根据坐标关系和图形知，QP=PE—QE，令P（x，），Q（x，x－3）.，得
QP= （x－3）—（）=3x－x2,带入即可，化简成二次函数，用配方法确定顶点即可解决。
24、 解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分
解得：
所以二次函数的表达式为： ……………………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于M
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于M，
∴OM=MC=
∴=．…………………………………………………6分
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.

= ……………10分
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积． ………………12
例2． 2010年桂林市初中毕业升学考试第26题（压轴题）
26．．（本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(本题12 分)
思路与策略：（1）C是直线AB与OC的交点，根据两点A，B坐标求出直线AB的表达式，后与直线OC表达式联立即可。或利用tan∠A= tan∠COA= ,得出∠A=∠COA=600，△OAC为正三角形，易得C的坐标。（2）在以DE为边向左侧作等边△DEF时，发现F有落在Y轴内，Y轴外，Y轴上可能。首先求出F落在Y轴上时，由线段DE等于D的纵坐标减去E的纵坐标，设它们的横坐标为t,利用前面的知识得 D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-= 在利用300的直角三角形中，600所对的直角边是300所对的直角边的倍关系，得到它的高是（），建立关系，然后分两种情况分别计算，利用不同的图形，在备用图中运用梯形的公式不难得到。
（3）中正常情况下等腰三角形有三种可能。在用铅笔直线演绎运动时感觉有的边相等不太可能，从长短来看容易发现FO≥BO=，FP≥BO =，OP≤4，腰只有可能是FO，FP,且F在Y轴的右侧，假设二者相等，根据对称性知F在OP的垂直平分线上， 根据等腰三角形的三线合一的性质知等边△DEF的DE边上的高为：，它为OP的一半，建立关系，顺而解出。
解（1）C（4，） ……………………………2分
的取值范围是：0≤≤4 ……………………………… 3分
（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-= ……………………4分
∴等边△DEF的DE边上的高为：
∴当点F在BO边上时：=，∴=3 ……………………5分
① 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分
S=
=

= ………………………………8分
② 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S= ………………… 9分
= ……………………10分
（3）存在，P（，0） ……………………12分
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）
例3 2010年黑龙江鸡西市初中毕业学业考试第28题（压轴题）
28. (本小题满分10分）
如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,若OA、OC的长满足.
⑴求B、C两点的坐标.
⑵把△ABC沿AC对折,点B落在点B′处,线段AB′与x轴交于点D,求直线BB′的解析式．
⑶在直线BB′上是否存在点P,使△ADP为直角三角形？若存在,请直接写出
P 点坐标；若不存在,请说明理由.
x
B′
B
A
y
C
D
O

．

思路与策略：（1）由非负数的性质知：OA=2，OC=2，易得：B（2，2），C（2，0）.（2）由tan∠1= = ，所以∠1=300，由翻折知，∠1=∠2=300，推出∠3=300，要求B′的坐标，作B′E垂直Y轴于E，由AB=A B′=2

利用300的直角三角板形特殊关系得B′E=，AE=3，
又AO=2，所以 B′（，—1），根据B，B′两
点坐标确定一次函数表达式，y=x—4
（3）假设在在直线BB′上有P点，画出草图感受出它
的两种可能，由特殊度数和边角关系，∠PAB=300，
∠AB B′=600，所以∠P1=300，推出AB=BP1，
过P1做AB的垂直线交AB于M，根据300直角三角形性质得BM=，P1M=3，所以P1（ 3，5），同理 推出 P2（，1），或用两直线的交点问题也可求，既联立两个一次函数的表达式求解。解答过程略。